文档介绍：线性代数知识点总结
线性代数知识点总结
行列式
第一节：二阶与三阶行列式
把表达式称为所确定的二阶行列式，并记作，
即结果为一个数。（课本P1）
同理，把表达式称为由数表所确定的三阶行列式，记作。
即=
二三阶行列式的计算：对角线法则（课本P2，P3）
注意：对角线法则只适用于二阶及三阶行列式的计算。
利用行列式计算二元方程组和三元方程组：
对二元方程组
设
则，（课本P2）
对三元方程组，
设，
，，，
则，，。（课本上没有）
注意：以上规律还能推广到n元线性方程组的求解上。
第二节：全排列及其逆序数
全排列：把个不同的元素排成一列，叫做这个元素的全排列（或排列）。
n个不同的元素的所有排列的总数，通常用Pn (或An)表示。（课本P5）
逆序及逆序数：在一个排列中，如果两个数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，那么称它们构成一个逆序，一个排列中，逆序的总数称为这个排列的逆序数。
排列的奇偶性：逆序数为奇数的排列称为奇排列；逆序数为偶数的排列称为偶排列。（课本P5）
计算排列逆序数的方法：
方法一：分别计算出排在前面比它大的数码之和即分别算出这n个元素的逆序数，这个元素的逆序数的总和即为所求排列的逆序数。
方法二：分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数之和，即算出排列中每个元素的逆序数，这每个元素的逆序数之总和即为所求排列的逆序数。（课本上没有）
第三节：n阶行列式的定义
定义：n阶行列式等于所有取自不同行、不同列的n个元素的乘积
的代数和，其中p1 p2 … pn是1， 2， … ，n的一个排列，每一项的符号由其逆序数决定。也可简记为，其中为行列式D的（i，j元）。（课本
即，（上述二推论证明课本P7例6）
第四节：对换
定义：在排列中，将任意两个元素对调，其余元素不动，这种作出新排列的手续叫做对换。将相邻两个元素对调，叫做相邻对换。（课本P8）
定理1　一个排列中的任意两个元素对换，排列改变奇偶性。
推论奇排列调成标准排列的对换次数为奇数，偶排列调成标准排列的对换次数为偶数。（上述二定理证明课本P8）
定理2 n阶行列式的项可以写为，其中q1q2…qn是行标排列，p1p2 …pn是列标排列。（证明课本P9）
推论设有n阶行列式，则或或（行列式三种不同表示方法）
推论在全部阶排列中，奇偶排列各占一半。
证明设在全部阶排列中有个奇排列，个偶排列，现来证。
将个奇排列的前两个数对换，则这个奇排列全变成偶排列，并且它们彼此不同，所以。
若将t个偶排列的前两个数对换，则这个偶排列，全变成奇排列，并且它们彼此不同，于是有。综上有s=t。
第五节：行列式的性质
定义记，，行列式称为行列式的转置行列式。
性质1 行列式与它的转置行列式相等。（证明课本P9）
说明行列式中行与列具有同等地位，因此凡是对行成立的行列式的性质的对列也成立。
性质2 互换行列式的两行或列，行列式变号。（证明课本P10）
推论如果行列式有两行（列）完全相同，则此行列式为零。
性质3 行列式的某一行（列）中所有的元素都乘以同一数，等于用数乘此行列式；
推论1 的某一行（列）中所有元素的公因子可以提到的外面;
推论2 中某一行（列）所有元素为零，则。
性质4　行列式中如果有两行（列）元素成比例，则此行列式为零．（证明课本P10）
性质5 若行列式的某一列（行）的元素都是两数之和，则
性质6 把行列式的某一列（行）的各元素乘以同一数然后加到另一列(行)对应的元素上去，行列式的值不变。（课本P11）
计算行列式常用方法：①利用定义；②利用运算把行列式化为上三角形行列式，从而算得行列式的值。
说明行列式中行与列具有同等的地位，行列式的6个性质凡是对行成立的对列也同样成立。
第六节行列式按行（列）展开
余子式在阶行列式中，把元素所在的第行和第列划去后，留下来的阶行列式叫做元素的余子式，记作。
代数余子式，叫做元素的代数余子式。（课本P16）
引理一个阶行列式，如果其中第行所有元素除（i，j）元外都为零，那么这行列式等于与它的代数余子式的乘积，即。（证明课本P16）
定理阶行列式等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式的乘积之和，即，，。（证明课本P17）
扩展范德蒙德(Vandermonde)行列式的证明见课本P18
展开定理推论阶行列式的任意一行（列）的各元素与另一行（列）对应的代数余子式的乘积之和为零，即
（证明课本P19）
第七节克拉默法则
如果线性方程组的系数行列式