文档介绍：（一）相似三角形
1、定义：对应角相等，对应边成比例的两个三角形，叫做相似三角形.
当一个三角形的三个角与另一个（或几个）三角形的三个角对应相等，且三条对应边的比相等时，这两个（或几个）三角形叫做相似三角形，即定义中的两个条件，缺一不可；
相似三角形的特征：形状一样，但大小不一定相等；
相似三角形的定义，可得相似三角形的基本性质：对应角相等，对应边成比例.
2、相似三角形对应边的比叫做相似比.
全等三角形一定是相似三角形，其相似比 k=1 .
区别在于全等要求对应边相等，而相似要求对应边成比例.
相似比具有顺序性. 例如△ ABC^A ABC'的对应边的比，即相似比为k，则△ A'B'C's^ ABC
妙=_L
的相似比止，当它们全等时，才有 k=k =1.
相似比是一个重要概念，后继学****时出现的频率较高，其实质它是将一个图形放大或缩小
的倍数，这一点借助相似三角形可观察得出.
3、如果两个边数相同的多边形的对应角相等，对应边成比例，那么这两个多边形叫做相似
多边形.
4、相似三角形的预备定理：平行于三角形的一条边直线，截其它两边所在的直线，截得的三角形与原三角形相似.
定理的基本图形有三种情况，如图其符号语言：
. DE// BC, . ABC^A ADE
（双A型）
这个定理是用相似三角形定义推导出来的三角形相似的判定定理. 它不但本身有着广泛的
应用，同时也是证明相似三角形三个判定定理的基础，故把它称为预备定理"；
有了预备定理后，在解题时不但要想到见平行，想比例”，还要想到见平行，想相似
（二）相似三角形的判定
1、相似三角形的判定：
判定定理1:如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两个三角
形相似。可简单说成：两角对应相等，两三角形相似。
例1、已知：如图，/ 1 = 7 2=7 3,求证：△ AB（^A ADE
例2、如图，E、F分别是△ ABC的边BC上的点, 求证：△ AB(^A DEF.
DE// AB,DF// AC ,
判定定理2:如果三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似。
简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.
2
例1、△ AB(^，点的AE±，如果AC=AD?AB,那么△ ACE^A ABCW似吗？说说你的理由.
例2、如图，点C、D在线段AB上，△ PCD是等边三角形。
当AG CD DB满足怎样的关系时，△ ACF^A PDB>
当^ ACF^A PDB寸，求/ APB的度数。
判定定理3:如果三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似。简单说成：三边对应成比例，两三角形相似.
耳
a
C1
—
7^
如图在正方形网格上有它们相似吗？如果相似不相似，请说明理由。
AiBiCi 和 A2B2C2,
,求出相似比；如果
强调：
有平行线时，用预备定理；
已有一对对应角相等(包括隐含的公共角或对顶角 )时，可考虑利用判定定理 1或判定定理
2；
已有两边对应成比例时，可考虑利用判定定理，在选择利用判定定
理2时，一对对应角相等必须是成比例两边的夹角对应相等.
2、直角三角形相似的判定：
斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似.
例1、已知：如图，在正方形 ABC畔，P是BC上的点，且BA 3PG :
△ ADg QCP
例 2、如图,AB ± BD,CtU BD,P 为 BD上一动点，AB=60 cm,CD=40 cm,BD=140 cm,当 P 点在 BD
上由B点向D点运动时,PB的长满足什么条件，可以使图中的两个三角形相似？请说明理由
例3、如图ADL AB于D, Cd AB于E交AB于F,则图中相似三角形的对数有对。
例4、已知：AD是Rt△ ABgZ A的平分线，Z C=90° ,
EF是AD的垂直平分线交 AD于M ER BC的延长线交于一点 ■
求证：(1) △ AM5 NMD
(2) ND=NC・ NB
由于直角三角形有一个角为直角，因此，在判定两个直角三角形相似时，只需再找一对对应角相等，用判定定理 1 ,或两条直角边对应成比例，用判定定理 2, 一般不用判定定理3判定两个直角三角形相似；
如图是一个十分重要的相似三角形的基本图形，图中的三角形，可称为母子相
似三角形”，其应用较