文档介绍：1
相似矩阵的性质：

相似矩阵有相同的特征多项式,从而特征值相同.
证
推论1 相似矩阵的行列式相等；
推论2 相似矩阵的迹相等；
推论3 若矩阵A与一个对角阵
相似,
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2
注意:
特征值相同的矩阵不一定相似.
但它们不相似,
因为对任意可逆阵P,
即与 E 相似的矩阵只有它自己。
相似矩阵的其它性质：
相似矩阵的秩相等；
若P,Q为可逆矩阵,则有
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3
A ,B 同为可逆或不可逆,可逆时它们的逆矩阵及伴随矩阵也分别相似。
只证(3)，其余证明留作练****br/>(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
为常数)
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例1
解
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n阶矩阵A与一个对角阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量。
二、矩阵可相似对角化的条件

如果一个矩阵能与一个对角阵相似,则称该矩阵可以(相似)对角化。
证
必要性：
设A与一个对角阵相似,即存在一个可逆
阵P,使
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即
即
即得
必要性得证。
上述步骤倒过来写,即得充分性证明。
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推论1 如果矩阵A的特征值互不相同,则A必可对角化.
因为属于不同特征值的特征向量是线性无关的.
注意: 这个条件是充分的而不是必要的.
如果A的特征方程有重根，此时不一定有n个线性无关的特征向量，从而矩阵A不一定能对角化；但如果能找到n个线性无关的特征向量, A还是能对角化．
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n阶矩阵A可对角化的步骤：
（1）求出的所有不同根（即的全部特
征值） ,其重数依次为；
（2）对每一特征值 ,解方程组得基础
解系 ;
（3）若存在，则A不能对角化. 否则A可对角
化，以这些基础解系的向量为列
构成矩阵，则P可逆且
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因此，若，则有重要等式：
其中为多项式，m为正整数.
注（1）特征值在中的顺序与特征向量在P中的
顺序应一致；
（2）满足的可逆矩阵P不唯一；
（3）为检验是否正确，可用下列式
子验证：
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例2 判断下列矩阵是否可对角化？若能，则求P，
使为对角阵，并计算、及
解（1）
(1)
(2)
得A的特征值为，又
得，所以，.
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