文档介绍：一. 相似矩阵及其性质
相似矩阵的定义
设A和B皆是n阶方阵，若存在一个n阶可逆方阵P，使得P-1AP=B，则称矩阵B与A相似。
从矩阵A到矩阵B=P-1AP的变换称为相似变换；称P为该相似变换的变换矩阵。
2. 相似关系
自反性;
对称性;
传递性.
等价关系
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3. 相似矩阵的特征值、特征向量
定理1. 若A与B相似，则A和B具有相同的特征多项式，从而具有相同的特征值。
定理2. 若B=P-1AP, 是A的关于特征值的一个特征向量,则 = P-1是B的关于特征值的一个特征向量。
例1. 证明
与
尽管具有相同的特征值，但它们并不相似。
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证明：
显然|A - E| = |B - E| = (0 - )3，从而A
和B的特征值皆为0
容易得到：
皆是B的与0对应的
特征向量.
倘若A和B相似，即有某一可逆方阵P，满足
依据定理2得：
的与特征值0对应的特征向量.
P-1AP=B.
皆是A
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也就是说,矩阵A应该有3个线性无关的特征向量.
证毕
二. 方阵在相似变换下的Jordan标准形
1, Jordan块
而这是不可能的．因为矩阵A - 0E的秩为2，方程组(A - 0E)X = 0不可能有三个线性无关的解向量。
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2. Jordan矩阵
定理3. 设A是一个n阶方阵,则存在某一Jordan矩阵J, 使得A与J相似.
称该Jordan矩阵J为方阵A在相似变换之下的Jordan标准形.
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三. 确定方阵Jordan标准型的方法.
定理4 设A是一个n阶方阵，则A相似于一个对角阵的充分必要条件是：A有n个线性无关的特征向量。
证明：
A相似于一个对角阵的充分必要条件是:
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存在n阶可逆方阵P，使得P-1AP = ,即AP = P
记P = (p1, p2, …, pn)，其中p1, p2, …, pn是P矩阵的n个线性无关的列向量。
(Ap1, Ap2, …, Apn) = (1p2, 2p2, …, npn)
从而有:
也就是说：Apk = kpk, k = 1, 2, …, n.
即p1, p2, …, pn皆是矩阵A的特征向量。
证毕
推论：若n阶矩阵具有n个互异的特征值，则该矩阵相似于一个对角矩阵。
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试问:
若方阵A相似于对角方阵
1. A2是否也相似于对角方阵? 相似于什么样的对角方阵?
2. A3呢?
3. 若() = a0 + a1 + a22 + … + amm是一个多项式, 定义(A) = a0E + a1A + a2A2+ … + amAm.
(A)相似于
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特别当:
, (A)相似于
即: (A) = O
定理5. 设A是一个n阶方阵, () = |A - E|是A的特征多项式, 则(A) = O
凯莱-哈密顿(Cayley-Hamilton)定理
，如相似，求出相似变换矩阵P
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解：
该矩阵有三个不同的特征值，所以相似于对角矩阵diag(1, 2, 3).
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