文档介绍：1. 证明:?? B A A B ? ? U 的充要条件是A B ?. 证明:若?? B A A B ? ? U ,则?? A B A A B ? ? ? U ,故A B ?成立. 反之,若A B ?,则???? B A A B A B B ? ??? U U ,又x B ??,若x A ?,则?? x B A A ? ? U ,若x A ?,则?? x B A B A A ? ??? U .总有?? x B A A ? ? U .故?? B B A A ? ? U ,从而有?? B A A B ? ? U 。证毕 c A B A B ? ? I . 证明:x A B ???,从而, x A x B ? ?,故, c x A x B ? ?,从而x A B ???, 所以 c A B A B ? ? I . 另一方面, c x A B ??I ,必有, c x A x B ? ?,故, x A x B ? ?,从而x A B ? ?, 所以 c A B A B ? ? I . 综合上两个包含式得 c A B A B ? ? I . 证毕 中的(3 )(4 ),定理6( De Morgan 公式)中的第二式和定理 9. 证明:定理4 中的(3 ):若A B ? ??(???),则 A B ?????? ??? I I . 证:若x A ?????I ,则对任意的???,有x A ??,所以A B ? ??(????)成立知x A B ? ?? ?,故x B ?????I ,这说明 A B ?????? ??? I I . 定理4 中的(4 ): ( ) ( ) ( ) A B A B ? ????????????? U U U U U . 证:若( ) x A B ? ????? U U ,则有'???,使' ' ( ) ( ) ( ) x A B A B ??? ???????? ? U U U U . 反过来,若( ) ( ) x A B ????????? U U U 则x A ?????U 或者x B ?????U . 不妨设x A ?????U ,则有'???使' ' ' ( ) x A A B A B ? ?? ?????? ? ? U U U . 故( ) ( ) ( ) A B A B ??? ??????????? U U U U U . 综上所述有( ) ( ) ( ) A B A B ? ????????????? U U U U U . 定理6 中第二式( ) c c A A ????????? I U . 1 证: ( ) c x A ??????I ,则x A ?????I ,故存在'???, ' x A ??所以' c c x A A ?????? ?U 从而有( ) c c A A ????????? I U . 反过来,若 c x A ?????U ,则'?? ??使' c x A ??,故' x A ??, x A ??????I ,从而( ) c x A ?????I ( ) c c A A ????????? ? I U . 证毕定理9 :若集合序列 1 2 , , , , n A A A K K 单调上升,即 1 n n A A ??(相应地 1 n n A A ??)对一切n 都成立,则 1 lim n n n A ?????U ( 相应地) 1 lim n n n A ?????I . 证明:若 1 n n A A ??对n N ??成立,则 i m i m A A ??? I .故从定理8知 1 1 liminf n i