文档介绍：矩阵相似对角化
主要内容
一、矩阵相似的概念
二、矩阵相似对角形
三、小结
四、思考与练****br/>2
一. 相似矩阵的概念
定义:
设 都是 阶矩阵，若存在可逆矩阵 ，使得
则称矩阵 是矩阵 的相似矩阵，
对 进行运算 称为对 进行相似变换，
可逆矩阵 称为把矩阵 变成矩阵 的相似变换矩阵。
或称矩阵 与矩阵 相似，记作
注：1 矩阵相似是一种等价关系
（1）反身性：
（2）对称性：若 则
（3）传递性：若 则
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分析: ,则存在可逆矩阵 ,使
与 相似, 则 与 相似( 为正整数).
,
,则
其中 是任意常数.
分析:
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定理1: 阶方阵 相似,则有
和 的特征多项式相同,即
从而 和 的特征值相同
注: 满足(1),(2),(3)时A和B不一定相似．
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推论：若矩阵 与对角阵 相似，
则 是 的 个特征值。
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例1:设矩阵 与 相似,
求
.
解:利用
得到方程
,
再利用
得到
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利用对角矩阵计算矩阵的方幂
若
则
k个
的多项式
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特别地,若可逆矩阵 ,使
为对角矩阵,则
对于对角矩阵 ,有
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二. 矩阵相似对角形
对 阶方阵 ，如果可以找到可逆矩阵 ，
使得 为对角阵，就称为把方阵 对角化。
定义:
定理2： 阶矩阵 可对角化（与对角阵相似）
有 个线性无关的特征向量。
(逆命题不成立)
推论1 :若 阶方阵 有 个互不相同的特征值,
则 可对角化。（与对角阵相似）
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