文档介绍：第十一一章章第二型曲线积分与
第二型曲面积分、、向量场向量场
东北林业大学理学院数学系
第十一一章章第二型曲线积分与第
二型曲面积分、、向量场向量场
向量场
第二型曲线积分
格林公式、、平面流速场的环量与旋度平面流速场的环量与旋度
平面曲线积分与路径无关的条件、、保守场保守场
第二型曲面积分
高斯公式、、通量与散度通量与散度
斯托克斯公式、、环量与旋度环量与旋度
例题
东北林业大学理学院第11 章第二型曲线积分与第二型曲面积分、、向量场向量场 222
向量场
向量场
向量场：如果在空间( 或部分空间区域) D 上，每个点都对应着
某个物理量的一个确定值。我们把该物理量在D上的这个分布
称为该物理量的场，物理量为向量的场叫做向量场。
向量线：在向量场中，若曲线l 上每点处的切线与该场向量重
合，则称曲线l 为向量场的向量线。
东北林业大学理学院第11 章第二型曲线积分与第二型曲面积分、、向量场向量场 333
例例1111：：在坐标原点处点电荷q 产生的电场中，点M( x, y , z ) 处的
q
电场强度为E= r 0 , 其中，r= r, r = xi + yj + zk , r 0是
4πε r 2
-电力线.
q
解解：：因 E=( xi + yj + zk ),
4πε r3
所以电力线方程为
dx dy dz
= = ,
qx qy qz
4πεr3 4 πε r 3 4 πε r 3
= =
通解为 y C1 x, z C 2 x ,
其中，为两个任意常数
C1, C 2
东北林业大学理学院第11 章第二型曲线积分与第二型曲面积分、、向量场向量场 444
向径的导数
设曲线l 的方程为
x= x( t), y = y( t) ,α ≤ t ≤ β .

当动点M 在 l 上移动时，动点的向径r= OM = x( t) i + y( t ) j
是的向量函数= ( ) 它是曲线的。
t r r t. l 向向量量量式式式方方程
∆ =( + ∆) −( ) = = ∆ + ∆
r r t t r t MM1 xi y j ,
∆r ∆ x ∆ y
=i + j ,
∆t ∆ t ∆ t
故 r'( t) = x '( t) i + y ' ( t) j .
dx ds ds dy ds ds
因为 x' ( t ) = = cosα , y' ( t ) = = cosβ ,
ds dt dt ds dt dt
东北林业大学理学院第11 章第二型曲线积分与第二型曲面积分、、向量场向量场 555
其中cosα ,cos β 为曲线在t 的对应点处沿弧长 s 增加方向的方
ds
r ' (t )= {cosα ,cos β }