文档介绍：第7章三维变换

三维几何变换
三维坐标变换
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简介
三维平移变换、比例变换可看成是二维情况的直接推广。但旋转变换则不然，因为我们可选取空间任意方向作旋转轴，因此三维变换处理起来更为复杂。
与二维变换相似，我们也采用齐次坐标技术来描述空间的各点坐标及其变换，这时，描述空间三维变换的变换矩阵是4×4的形式。
由此，一系列变换可以用单个矩阵来表示。
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三维几何变换
基本三维几何变换
1. 平移变换
若空间平移量为(tx, ty, tz)，则平移变换为
P(x,y,z)

P’(x’,y’,z’)
x
y
z
补充说明：点的平移、物体的平移、多面体的平移、逆变换
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2. 比例变换
（1）相对坐标原点的比例变换
一个点P=(x,y,z)相对于坐标原点的比例变换的矩阵可表示为
x
y
z
其中
为正值。
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（2）相对于所选定的固定点的比例变换
z
x
y

（xf,yf,zf)
z
x
y

（xf,yf,zf)
z
x
y

（xf,yf,zf)
z
x
y

（xf,yf,zf)
(1)
(2)
(3)
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3. 绕坐标轴的旋转变换
三维空间中的旋转变换比二维空间中的旋转变换复杂。除了需要指定旋转角外，还需指定旋转轴。
若以坐标系的三个坐标轴x,y,z分别作为旋转轴，则点实际上只在垂直坐标轴的平面上作二维旋转。此时用二维旋转公式就可以直接推出三维旋转变换矩阵。
规定在右手坐标系中，物体旋转的正方向是右手螺旋方向，即从该轴正半轴向原点看是逆时针方向。
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（1）绕 z 轴旋转
x
x
x
y
y
y
z
z
z
（2）绕 x 轴旋转
（3）绕 y 轴旋转
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绕 z 轴旋转
绕 x 轴旋转
绕 y 轴旋转
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旋转，则该轴坐标的一列元素不变。按照二维图形变换的情况，将其旋转矩阵
中的元素添入相应的位置中，即
对于单位矩阵
旋转变换矩阵规律:
，绕哪个坐标轴
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(1) 绕z轴正向旋转
角，旋转后点的z坐标值不变, x、y
坐标的变化相当于在xoy平面内作正
角旋转。
(2)绕x轴正向旋转
角，旋转后点的x坐标值不变，
Y、z坐标的变化相当于在yoz平面内作正
角旋转。
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