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1.向量的有关概念
名称
定义
备注
向量
既有大小又有方向的量;向量的大小叫做向量的长度(或称模)
平面向量是自由向量
零向量
长度为0的向量;其方向是任意的
记作0
单位向量
长度等于1个单位的向量
非零向量a的单位向量为±a,|a|)
平行向量
方向相同或相反的非零向量
0与任一向量平行或共线
共线向量
方向相同或相反的非零向量又叫做共线向量
相等向量
长度相等且方向相同的向量
两向量只有相等或不等,不能比较大小
相反向量
长度相等且方向相反的向量
0的相反向量为0
向量运算
定义
法则(或几何意义)
运算律
加法
求两个向量和的运算
(1)交换律:
a+b=b+a.
(2)结合律:
(a+b)+c=a+(b+c).
减法
求a与b的相反向量-b的和的运算叫做a与b的差
三角形法则
a-b=a+(-b)
数乘
XX数λ与向量a的积的运算
(1)|λa|=|λ||a|;
(2)当λ>0时,λa的方向与a的方向相同;当λ<0时,λa的方向与a的方向相反;当λ=0时,λa=0
λ(μa)=(λμ)a;
(λ+μ)a=λa+μa;
λ(a+b)=λa+λb
向量a(a≠0)与b共线,当且仅当有唯一一个实数λ,使b=λa.
4.平面向量基本定理
如果e1、e2是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数λ1、λ2,使a=λ1e1+λ2e2.
其中,不共线的向量e1、e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基底.
5.平面向量的坐标运算
(1)向量加法、减法、数乘及向量的模
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a+b=(x1+x2,y1+y2),a-b=(x1-x2,y1-y2),λa=(λx1,λy1),|a|=x\o\al(2,1)+y\o\al(2,1)).
(2)向量坐标的求法
①若向量的起点是坐标原点,则终点坐标即为向量的坐标.
②设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB,\s\up6(→))=(x2-x1,y2-y1),|AB,\s\up6(→))|=x2-x1)2+(y2-y1)2).
6.平面向量共线的坐标表示
设a=(x1,y1),b=(x2,y2),其中b≠∥b⇔x1y2-x2y1=0.
7.平面向量的数量积
已知两个非零向量a与b,它们的夹角为θ,则数量|a||b|cos θ叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b=|a||b|cos θ.
规定:零向量与任一向量的数量积为__0__.
两个非零向量a与b垂直的充要条件是a·b=0,两个非零向量a与b平行的充要条件是a·b=±|a||b|.
8.平面向量数量积的几何意义
数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积.
9.平面向量数量积的重要性质
(1)e·a=a·e=|a|cos θ;