文档介绍：关于量纲分析法
量纲分析法是二十世纪初，一些物理学家提出的一种在物理领域建立数学模型的办法。
所谓量纲分析法，即在经验和实验的基础上，利用物
理量的量纲所提供的信息，根据量纲齐次原则来确定
物理量之间的关系。
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一、量纲齐次原则
物理量的量纲
物理量的量纲
长度 l 的量纲记 L=[l]
质量 m的量纲记 M=[m]
时间 t 的量纲记 T=[t]
动力学中基本量纲
L, M, T
速度 v 的量纲 [v]=LT-1
导出量纲
加速度 a 的量纲 [a]=LT-2
力 f 的量纲 [f]=LMT-2
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国际单位制SI制的基本量
长度 l 米L
质量 m 公斤M
时间 t 秒 T
电流强度 I 安培A
温度 开尔文K
光强 J 堪德拉cd
物质的量 摩尔N
其他所有物理量的单位都由这7个基本量复合得到。
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量纲齐次原则
引力常数 k 的量纲 [k]
对无量纲量，[]=1(=L0M 0T 0)
量纲齐次原则
等式两端的量纲一致
量纲分析~利用量纲齐次原则寻求物理量之间的关系
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单摆运动示例
假设：1、不考虑空气阻力；
2、忽略地球自转对单摆运动的影响；
3、摆线是刚体，在摆动中无形变；
4、摆轴部分没有摩擦。
在这样的假设条件下，与单摆运动有关的物理量分别有：
t、m、l、g、
单摆运动的规律由公式 F(t, l, m, g, ) = 0 给出。
例:单摆运动
求摆动周期 t 的表达式
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假设物理量 t, m, l, g 之间有关系式
1, 2, 3 为待定系数，为无量纲量
(1)的量纲表达式
对比
对比这里计算出的公式和实际公式
参数通过测量和最小二乘法计算可以得到。
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原理分析
对 x,y,z的两组测量值x1,y1,z1 和x2,y2,z2，
p1 = f( x1,y1,z1), p2 = f( x2, y2,z2 )
为什么假设这种形式？
设p= f(x,y,z)
x,y,z的量纲单位缩小a,b,c倍
p= f(x,y,z)的形式为
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单摆运动中 t, m, l, g 的一般表达式
y1~y4 为待定常数, Δ为无量纲量
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设 f(q1, q2, , qm) = 0
ys = (ys1, ys2, …,ysm)T , s = 1,2,…, m-r
F( 1, 2,…, m-r ) = 0 与 f (q1, q2, , qm) =0 等价, F未定
Pi定理 (Buckingham)
是与量纲单位无关的物理定律，X1,X2, , Xn 是基本量纲, nm, q1, q2, , qm 的量纲可表为
量纲矩阵记作
即线性齐次方程组
有 m-r 个基本解，记作
为m-r 个相互独立的无量纲量, 且
则
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Pi定理的意义
Pi定理实际上给出了一个量纲分析法建
模的方法和理论支持，即这个定理证明
了：量纲分析法是可行的，没有任何理
论上的疑点。
下面就利用Pi定理中给出的步骤和方法来解决一个新的建模问题。
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