文档介绍：第七章空间解析几何与向量代数
第一节向量及其线性运算
(x, -y,-z) , (-X, y,-z),(一兀,-y, z);(一兀，y, z) , (x, -y, z) , (x, y, 一 z)
(—兀,—歹,一z)
Oo,0,0)； (xo,yo,O)； z = z°
(—a, 0, 0)、(0, —a, 0)、(-—a, 0, 0)、(0, -—a, 0)、
2 2 2 2
(~~~ 0, Cl)、(0, —— Cl)、( 0, Cl)、(0, Q，Cl)
2 2 2
1, -3, 3；皿 ^=(1, -3, 3)
35 (4, 0)
第二节数量积向量积
4解:
^P^M1M2 =4'
2 2 = 2“
1
⑵~ j -5斤)
\a--(a-b)\=\-a + -b\=3 3 3
」(?+$)•(?+爭
Id 2__1 Z^- + 2x-x-+-bxb
5解:
AB = (0, -2, 1), AC = (-2, 2, 0)
ABxAC= 0
J-2
-2 2
k
1 =-2i-2j-4k0
1 »S^BC=-\AB\\AC\sinZA
I ABx AC 1=76
第三节曲面及其方程
1 y2 +z2 =3x,旋转抛物面；z2 ^cot2«(x2 + y2),圆锥面;
x2 -9(y2 +z2)-25和〒+z? -9y2 =25,旋转双叶双曲面和旋转单叶双曲面
3 13 315
2 (A- — —)2+(y + -)2+(z + —)2 =— 即 8x2+8y2+8z2-14x + 6y-26z-ll = 0
8 8 64
空间曲线及其方程
”2,2 2
.z
x + y ~ a
y = asm —
yoz: <
b zox: <
z = 0
j
x = 0
1 z = l+ y2 2 xoy\ <
z
X = QCOS—
b
y = 0
兀=1 + sin &
< y = cos&
z = V2(sin——cos—)
兀= 1 + COS0
或卜=sin 0z = ±j2-2cos0
平面及其方程
(2 ) 2x- y = 0 ；
(3 ) 兀+z — 2 = 0； (4)
a(x — a) + b{y -b) + c(z — c) = 0
2解：平面与向量力和方都平行，则平面的法线向量五与云和方都垂直，所以
i J
n=axb= 2 0
1 -1
k
1 =i + j - 2k
0
所以平面的点法式方程为:
(兀 _2) + (y_l)_2(z_3) = 0
即兀+ y — 2z + 3 = 0
3解：平面的法线向量
_ i 1
n = ABxAC=-3 -3
0 -1
k
3 = -6i + 9 j + 3^
3
所以平面的点法式方程为: —6(兀—1) + 9(y — 1) + 3(z +1) = 0
即 6x-9y-3z =0
空间直线及其方程
x-1 y-1 z-1
x = l-2t
< y = l + t
z = l + 3t
2(% — 1) 一 y + (z — 1) = 0
z-l = 0
5解:
方法1：
过点M作平面和直线厶垂直的平面方程，此平面的法线向量为
—» —► —►
i j k
ii=2 -1 1 =j+k 则此平面方程为 y + z-l = O
1 1 -1
1 3求得P(l, 一〒m
2兀-y+z — 4 = 0 平面与直线L的交点P由方程组L+y-z + l = O
y + z — 1 = 0
所以点M与直线厶之间的距离d=|PM|=¥
方法2：如图所示:
直线上有一点4(1, -1, 1)
直线
L
的方向
向量
? = (0,
3,
3)
所
以
距
离
一
►.
3 | AM||?|s e |AMxk| 3V2
则向量 AM = (2, 0, 1),
心而冃丽sin。」前忖$ &=业^ =班
|s| |s| 2
方法3：
x = 1
直线厶的参数方程为：y = -l + 3r,则垂足的坐标P(l, —1 + 3/, l + 3r)
z = 1 + 3/
所以 d=\MP\=^-
则向量MP = (—2, 3t, 3/ + 1) 而MP丄所以MP s=0 即
9》+ 9》-3 = 0,=>》=丄
6
6解：平面过原点，所以可设平面的一般方程为
A