文档介绍：第九讲二重积分
一、考试要求
1、理解(了解)二重积分的概念，了解二重积分的基本性质。
2、掌握二重积分(直角坐标、极坐标)的计算方法。
3、会计算无界区域上的较简单的二重积分(数三、四)
内容提要
n
定义 f (x, y)d ldim0 f ( i , i) i
D i1
性质
线性运算性质
积分可加性： f (x, y)d f (x, y)d f (x, y)d
D1 D2 D1 D2
如果在 D 上 f(x y) g(x y) 则 f(x,y)d g(x,y)d
DD
4)设M m分别是f(x y)在闭区域D上的最大值和最小值为D的
面积则有 m f(x,y)d M
5)设函数f(x y)在闭区域D上连续为D的面积则在D上至少存在一点 ( )使得 f(x, y)d f( , )
D
3、几何意义
、重要公式与结论
二重积分的对称性质
1) D关于x轴对称
f(x,y)d
D
0,
2 f (x,y)d
D1
f (x, y)
f (x, y)
f(x,y)
f (x, y)
D1 为 D 的上半平面。
D 关于 y 轴对称
0, f ( x,y) f(x,y)d 2 f (x,y)d , f
D f ( x, y)
D2
f (x,y)
f (x, y)
D2 为 D 的右半平面。
轮换对称性：若 x, y 互换后区域 D 不变，则
f (x,y)dxdy f (y,x)dxdy
DD
三、典型题型与例题
题型一、基本概念及性质
例1、设闭区域D：x2 y2 y,x 0. f(x,y)为D上的连续函数，且
2 2 8
f (x, y) , 1 x y — f(u,v)dudv. D
求 f(x,y).
例 2、 (0534)
设 I1 cos x2 y2d
D
其中 D {(x, y)x2 y2
(A) I3 I2 Ii
I2 Ii I3.
,I2 cos(x2 y2)d , I3 cos(x2
D D
1},则
(B ) 11 I 2 I 3 .
I 3 I 1 I 2 .
例3、
n n
(10123) lim 冬
i 1 j 1 n i n
1 x 1
(A) dx ^dy.
0 0 1 x 1 y2
(B)
1
dx
0
x 1
0 1x1
-dy. y
1 1 1
(C) dx ! dy .
0 0 1x1 y
(D)
1 1
dx 一
0 0 1
77Tdy
【答案】应选(D).
【分析】用二重积分(或定积分)的定义
因为
n
lim
n i 1
2 2
j 1 (n i)(n j )
lim
n
n
j1n(1 1)n2[1 (」)2]
lim
n
1
dx
0
n
n 1
j1(1 A)[1
n
1
(1)2] n
2- dy , 0(1 x)(1 y )
所以应选(D).
计算 y x2d . D： 1 x 1,0 y 1.
题型二、二重积分的基本计算
利用直角坐标计算 d =dxdy
D: a x b, i(x) y 2(x)或 c y d, i(y) x 2(y)
计算二重积分的步骤
(1)画出积分区域D的草图.
(2)用不等式组表示积分区域D
(3)把二重积分表示为二次积分
(4)计算二次积分.
注：计算过程中先化简
例4、(0634)计算二重积分 Jy2 xydxdy ,其中D是由直线y x, y 1,x 0
D
所围成的平面区域.
例5、
利用极坐标计算d =rdrd
计算方法同直角坐标，一般先r、后，适应于圆形区域或被积函数含有x2 y2的因子；
(i ) 极点在区域内：
(ii ) 极点在区域外：
(iii )极点在区域的边界上：
例6、(0612)设区域D (x,y)x2 y2 1,x 0,计算二重积分
1 xy
—2 2dxdy.
y2 4y及直线
x y
例 7、计算(x2 y2)dxdy ,其 D 为由圆 x2 y2 2y , x2 D
x J3y 0, y <3x 0所围成的平面闭区域.
计算重积分应注意的技巧：利用重积分的对称性简化计算
Oi( 2 2) 一一
例 8、计算、 dxdy , D {(x, y)|1 x y 4}
d . x2 y2
例 9、计算 xydxdy =
lxl |y|1
例10、