文档介绍：巧添辅助线解证几何题
［引出问题］在几何证明或计算问题中，经常需要添加必要的辅助线，它的目的可以归纳为以下三点: 一是通过添加辅助线，使图形的性质由隐蔽得以显现，从而利用有关性质去解题；二是通过添加辅助线，使分散的条件得以集中，从而利用它们的相互关系解题；三是把新问题转化为已经解决过的旧问题加以解决。值得注意的是辅助线的添加目的与已知条件和所求结论有关。下面我们分别举例加以说明。
［例题解析］
一、倍角问题
例1:如图1,在厶ABC中，AB=AC,BDLAC于D。
1
求证：/ DBC— / BAC.
2
分析：/ DBC / BAC所在的两个三角形有公共角/ C,可利用
三角形内角和来沟通/ DBC / BAC和/ C的关系。
证法一：•••在△ ABC 中，AB=AC
1 ° ° 1
•••/ ABC=Z C=— （180 - / BAQ =90 - — / BAG
2 2
•/ BD丄 AC于 D BDC=90
° ° ° 1 1
•••/ DBC=90 - / C=90 -(90 ——/ BAC)= — / BAC
2 2
1
即/ DBC= - / BAC
2
分析二：/ DBC / BAC分别在直角三角形和等腰三角形中，由所证的结论“/ DBC= ?/ BAC中
含有角的倍、半关系，因此，可以做/ A的平分线，利用等腰三角形三线合一的性质，把？/ A放在直
角三角形中求解；也可以把/ DBC沿 BD翻折构造2/ DBC求解。
证法二：如图 2，作AE丄BC于E,则/ EAC+Z C=90
1
•/ AB=AC EAGd Z BAC
2
•/ B［丄 AC于 D
Z DBC-Z C=90
•Z EACZ DBC（同角的余角相等）
1
即 Z DBC— Z BAC
2
证法三：如图 3,在AD上取一点 E,使DE=CD
连接BE
•/ BD丄 AC
BD是线段CE的垂直平分线
BC=BE BEC=/ C
Z EBC=2Z DBC=180 -2 Z C
•/ AB=AC
Z ABC玄 C
Z BAC=180 -2 Z C
Z EBC=/ BAC
1
Z DBC= — Z BAC
2
说明：例1也可以取BC中点为E,连接DE,利用直角三角形斜边的中线等于斜边的一半和等腰
三角形的性质求解。同学们不妨试一试。
例2、如图4，在△ ABC中，/ A=2/ B
求证：bC=aC+ac?ab
分析：由bC=aC+ac?ab= ac（ ac+ab ,启发我们构建两个相似
的三角形，且含有边 BC AC AC+AB又由已知/ A=2/ B知, 构建以AB为腰的等腰三角形。
证明：延长 CA到D,使AD=AB则/ D=Z DBA
•••/ BAC>^ ABD的一个外角
•••/ BAC=/ DBA+Z D=2/ D
•••/ BAC=2/ ABC
•••/ D=/ ABC
AC
BC
BC
CD
• bC=ac?cd ad=ab
• bC= AC( ac+ab =aC+ac?ab
中点问题
：如图，△ ABC中，AB=AC在 AB上取一点 D,在 AC的延长线上取一点 E,连接DE交BC于点F,若F是DE的中点。求证：BD=CE
分析：由于BD CE的形成与D、E两点有关，但它们所在的三角形之间因为不是同类三角形，所以关系不明显，由于条件 F是DE的中点，如何利用这个中点条件，把不同类三角形转化为同类三角形式问题的关键。由已知AB=AC联系到当过D点或E点作平行线，就可以形成新的图形关系一一构成等腰三角形，也就是相当于先把 BD或 CE
移动一下位置，从而使问题得解。
证明：证法一：过点 D作DGI AC,交BC于点G （如上图）
E
• / DGB/ ACB, / DGF/ FCE
•/ AB=AC B=/ ACB
• / B=/ DGB • BD=DG
•/ F是DE的中点 • DF=EF
在厶DFG和厶DEFC中，
DFG= EFC
DGF= FCE
DF=EF
△ DFG^ EFC
DG=CE • BD=CE
A
• AD=AH
• BD=HC
B
E
E
证法二：如图，在 AC上取一点H,使CH=CE连接DH
••• F是DE的中点
••• CF>△ EDH 的中位线 ••• DH//