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第十一章解题方法归纳
一、曲线积分与曲面积分的计算方法
1・曲线积分与曲面积分的计算方法归纳如下:
(1) 利用性质计算曲线积分和曲面积分・
(2) 直接化为定积分或二重积分计算曲线或曲面积分
(3) 利用积分与路径无关计算对坐标的曲线积分•
(4) 利用格林公式计算平面闭曲线上的曲线积分・
(5) 利用斯托克斯公式计算空间闭曲线上的曲线积分
(6) 利用高斯公式计算闭曲面上的曲面积分・
2•在具体计算时，常用到如下一些结论：
(1)若积分曲线L关于y
轴对称，则
0
f对x为奇函
l f(x,y)ds
2 tf(x,y)ds
1
f对X为偶函数
l P(x,y)dx
0
P对X为奇函数
2 LLP(x,y)dy
1
P对X为偶函数
0
Q对x为偶函数
l Q(x,y)dy
2 L Q(x,y)dy
Q对x为奇函数
其中L是L在右半平面部分.
若积分曲线L关于x轴对称，则
0
Lf(x,y)ds 2 f (x,y)ds
J
f对y为奇函数 f对y为偶函数
0
P对y为偶函数
LP(x, y)dx 2 p(x, y)dy P 对 y 为奇函数
0 Q对y为奇函数
严皿2Q(x,y)dyQ对y为偶函数
1
其中Li是L在上半平面部分・
l f(y)ds.
⑵若空间积分曲线L关于平面yx对称，则f (x)ds
(3) 若积分曲面关于xOy面对称，则
0 f对z为奇函数
f(x,y,z)dS 2 R(x, y,z)dS f 对 z 为彳禺函数
0 R对z为偶函数
R(x, y,z)dxdy 2 R(x, y, z)dxdy RM z 为奇函数
1
其中1是在xOy面上方部分.
若积分曲面关于yOz面对称，则
0 f对x为奇函数
f(x,y,z)dS 2 R(x, y,z)dS f 对 x 为偶函数
1
0 P对x为偶函数
P(x,y,z)dydz 2 P(x,y,z)dydz P 对 x 为奇函数
其中
i是在yOz面前方部分.
若积分曲面关于zOx面对称，
f (x,y,z)dS
Q(x, y, z)dzdx
f对y为奇函数
R(x, y,z)dS f对y为偶函数
Q对y为偶函数
Q(x,y,z)dzdx Q对y为奇函数
# /13
# /13
其中
1是在zOx面右方部分.
⑷若曲线弧L:
x(t)
y(t)
t),则
# /13
# /13
l f(x,y)ds
x(t),y(t) ,x2(t) y 2(t)dt ( )
(极坐标),则
若曲线弧L : r r()
# /13
# /13
l f(x, y)ds
f r( )cos
,r( )sin . r2() r 2( )d
若空间曲线弧:y
z
x(t)
y(t) (t
z(t)
),则
# /13
# /13
f(x,y,z)ds f x(t), y(t),z(t) >x2(t) y2(t) z2(t)dt (
(5)若有向曲线弧L:xx(t) (t： ),贝IJ
yy(t)
LP(x,y)dx Q(x, y)dy P x(t), y(t) x(t) Q x(t), y(t) y (t) dt
xx(t)
若空间有向曲线弧:y y(t) (t: ),贝ij
zz(t)
P(x,y,z)dx Q(x, y, z)dy R(x, y,z)dz
P x(t), y(t), z(t) x(t)Q x(t), y(t),z(t) y (t) R x(t), y(t), z(t) z(t) dt
(6)若曲面:z z(x, y) ((x, y) Dxy),贝 U
f (x,y,z)dS f x, y,z(x, y) 1 Zx2(x, y) Zy2(x, y)dxdy
Dxy
其中Dxy为曲面在xOy面上的投影域.
若曲面:x x(y, z) (( y,z) Dyz),则
f (x,y, z)dS f x(y,z), y, z . 1 Xy(y,z) Xz(y,z)dydz
Dyz
其中Dyz为曲面在yOz面上的投影域
若曲面:yy(x, z) ((x, z) Dzx),则
f (x,y, z)d