文档介绍：第二章张量的基本知识张量的提出: 晶体具有各向异性,从而使得晶体的物理性质在不同方向上也存在着差异。晶体的各向异性是一种很普遍的特性, 特别是很多现象如热电、压电、电光、声光、非线性光学效应等物理现象都完全是因为晶体的各向异性才能表现出来。于是,人们实践中探索出了一套描述各向异性性质的数学方法,这种方法就是张量方法。在晶体物理中所涉及的张量分析是比较简单的,晶体的对称性的操作对应的坐标变换,一般使用三维正交直角坐标系的变换就够了。本章中将只限于介绍这种坐标系中所定义的张量。标量、矢量、张量一、标量在物理学中,有一些量是没有方向而言的,如温度、质量、密度等,这些物理量只需要一个数值即可描述,我们把这种物理量称为标量。有些量虽然在坐标变换时数值不变,但其符号在第二类点操作时发生改变,这称为赝标量。二、矢量有一些物理量,它既有大小,又有方向,如力、速度、电场强度等,这些物理量需要指明其大小和方向才能完全描述,称为矢量。取直角坐标系 OX1X2X3, 设有矢量,在三个坐标轴方向上的投影分别为,于是我们将表为: 。与赝标量概念相似,我们可以引入赝矢量,赝矢量与矢量的区别在于其变换多了一个符号的改变。例如各种轴矢量(磁场强度、磁感应强度等)就是赝矢量。 f 3,2,1ffff )( 3,2,1ffff?三、张量先看一个例子:对于均匀导体,在电场强度 E的作用下,其电流密度 J和电场强度 E有相同方向,即均匀导体的欧姆定律其中σ为电导率,是标量。但是对于晶体,由于各向异性,一般情况下 J与E并不具有相同的方向,此时 J与E的关系变为 EJ???????????????? 3 33 2 32 1 31 3 3 23 2 22 1 21 2 3 13 2 12 1 11 1EEEJ EEEJ EEEJ?????????或表示成分量形式矩阵形式)3,2,1 31????iEJ j j iji( ???????????????????????????????? 3 2 1 33 32 31 23 22 21 13 12 11 3 2 1E E E J J J?????????此处σ不再是一个数,而是 9个数构成一个方阵,称为电导率张量,这是一个二阶张量。于是,各向异性晶体中的欧姆定律可表示为张量的定义:一般来说,在物理学中,有一些量需要用 9个分量来描述,这种物理量就是二阶张量。 EJ?????????????? 33 32 31 23 22 21 13 12 11?????????? 张量的数学定义描述物理量的矢量和张量应与坐标轴的选择无关。就是说,当坐标轴变换时,矢量和张量的所有分量都随之变换, 但作为描述物理量的矢量和张量本身是不变的。因此,分量的变换必有一定的规律。接下来我们就来讨论一下坐标变换时分量变换的规律。一、坐标变换如图所示,设有直角坐标系OX1X2X3 ,其三个方向的单位矢为 , 经过旋转变换为新的坐标系 OX'IX'2X'3 ,在新的坐标系里的单位矢为 , 令新坐标系中在旧坐标系中的方向余弦为(j=1,2,3 ) , 则 321,,eee 321',','eee ija ?????????????? 3 33 2 32 1 31 3 3 23 2 22 1 21 2 3 13 2 12 1 11 1' ' 'eaeaeae eaeaeae eaeaeae或简写为反之,有)3,2,1 ' 31????ieae j j ij i()3,2,1(' 31????ieae j j ji i