文档介绍：cos 90：
-cos 90： -、cos 90： - ■■
sin 90：-、sin 90： - sin 90：-，. ()
即有
sin ： = sin sin c cos cos、cos - . ()
带入()式，可得
「 h Ji — (sin。sin& + cos* cosS cose )2 (44)
sin sin cos cos cos
其中，时角①的计算公式为3】：
八15亿-12）（度）， （）
太阳赤纬角& （即太阳直射点的维度）：
‘2号 284n
（度）
()
6=2 3. 45si-n^
365
其中n为日期序号，例如，1月1日为n = 1 , 2月25日为n = 56
卜面我们将定性分析影子长度r关丁各个参数（时角⑴、纬度中及赤纬角6） 的变化规律。
首先，分析在一天之中时角切对影子长度的影响。由假设可知赤纬角5在一 天之中是包定的，乂 r = h/tana可知，太阳高度角a越大，影子长度越小；乂 由式（）可得，时角切的绝对值 网越大，口越小。所以可知，回越大，影子长 度r越大。
其次，分析纬度巾对影子长度的影响。我们在同一经度上（即时角 句定）考
虑此问题，当地纬度巾与此时的太阳赤纬之差越大，影子长度 r越大。
最后，分析赤纬角&对影子长度的影响。我们在同一纬度不同经度上考虑此 问题，当地经度和此时太阳直射点所在的经度之差越大，影子长度 r越大。
应用我们所建立的模型（）,基丁 Matlab plot函数给出9:00-15:00的影子 长度，见图（）。其中整点时刻的影子长度见表 .
9:00 —15:00问整点时刻直杆影子的长度
北京时 间
9
10
11
12
13
14
15
影长
（米）
8
3 5 iiii
9 10 11 12 13 U 15
时间（里位：t）
9:00 —15:00天安门广场直杆影子长度的变化曲线
首先建立一个坐标系（标准坐标系），附件数据所在的坐标系为旧坐标系，标 准坐标系与旧坐标系之间有一个旋转角。通过推导发现，影子长度与相应时刻太 阳高度角的余切之比为定值，故可以直接利用旧坐标系下的影长数据，而避开了 未知杆长、旋转角及标准坐标系下的坐标分量，从而简化了问题的复杂度和求解 难度。
设％为i时刻的太阳高度角， 钏为i时刻太阳方位角（太阳方位角为正北方向按 顺时针旋转到太阳投影点所旋转的角度）"】，r为i时刻影子长度，（x, y）为旧坐标 系下的杆顶点投影的坐标（旧坐标系为附件中数据所在的坐标系），建立标准坐标 系，以杆低端为原点，x轴朝向正南,y轴朝向正东。（X, y）为标准坐标系下杆
h
顶点投影的坐标。在标准坐标系下，有
()
所以
乂 Pi为i时刻太阳方位角，贝U n 一岗为旧坐标系和标准坐标系之间的旋转角度,
hcot ： i sin(德一《) = y
hcot ：、cos(四「第)=%
K = sin("*)= sin * -tan、 X cos(二-.) 一cos : i
()
()
也就是直杆影子顶点横纵坐标的比值与杆子的高度无关，仅仅与太阳的方位角有 关
hcot： i = . x2 V；= X2 V；
()
因为
所以
()
h- x2
由上面分析可知，新旧坐标系下的坐标，杆的高度，太阳高度角，太阳方位 角，满足如下方程组：
hcot： i cos(— *) = X
hcot% sin伊-咯)=V
()
X cos^ sii x
!y J Lsin。cosM!y
hcot： i = X2 y2 = .X2 Vi2
上述方程组为含多个未知量的非线性的方程，求解非常困难。但是由方程组可以 得到如下关系式：
42=cot：i=^L^
h h
()
由此得到
()
cot： i _ . X： y2 =立
cot ： j . x"y2 rj
若所求点恰好为附件所给数据的拍摄地点，必满足
i,j
从而建立目标函数如下：
2
minf =' cot、。-cot：, r; （）
i,j
此目标函数和杆的高度、两个坐标系均无关，大大简化了模型的求解难度，加快 了求解速度。
为了找出最佳匹配的点，我们需要在球面上，计算出一些点的某段时刻的高 度角，带入目标函数，求出