文档介绍：IA8 I = J（^2 — *1）2 + （为一Vl）2 + 怎2 — zj2
3）方向角：非零向量与三个坐标轴的正向的夹角cc,/3,y
x o y z
4）方向余弦：cos々 =何，cos”f，cos/= -^|
err
cos a + cos 0 + cos / = 1
5）投影：Prjna=acos（p＞其中9为向量4与诺的夹角。
（二）数量积，向量积 ―► —►
1、数量积：a • b = a b cos 3
t t t 2
1） a - a = a
―► ―►
2） a A-b o a • b = 0 ―►
a-b = abY + a、,b、, + ab
人人 V V z z
―►
2、向量积：c = axb
微积分下册知识点
第一章空间解析几何与向量代数
(-)向量及其线性运算
1、向量，向量相等，单位向量，零向量，向量平行、共线、
共面；
2、线性运算：加减法、数乘；
3、空间直角坐标系：坐标轴、坐标面、卦限，向量的坐标
分解式；
4、利用坐标做向量的运算：设& = (%,%,%),
—►
b = (bx，by,bz),
贝寸 a±b = {ax±bx,ay±by,az±bz) ,
4 U = (4 4 Gy , 4 G,)；
5、向量的模、方向角、投影：
1 )向量的模：|习=+ y2 + Z?.
2)两点间的距离公式
3、柱面：
F(x,j) = 0表示母线平行于z轴，准线为
rF(x,y) = O
的柱面
z = 0
4、二次曲面(不考)
2 2
y 2
1)
椭圆锥面：々2 '。
2)
2 2 2
x y z . 椭球面：^2 1 7 2 1厂2 _』
Ct- C_x
2 2 2
x y z .
一.. k 1 — 1
旋转椭球面：~2 Ct- vt-
3)
2 2 2
x y z
单叶双曲面：2 1 7 2 2 — 1
CX C_x
4)
2 2 2
__2__L = i
双叶双曲面：2 12 2 —
大小：a b sin。，方向：a,b,c符合右手规则
1) a x
a =
0
—► —►
2) allb。a xZ?
=0
i
—►
J
k
―► axb =
J
X
y
z
b
b
b
X
y
z
运算律：
反交换律
—►
b x
—►
a — —a x b
曲面及其方程
1、曲面方程的概念：S : /(x, j,z) = 0
2、旋转曲面：
yoz 面上曲线 C : /(j, z)=。，
绕 J 轴旋转一周：/(j,±Vx2 + Z2 ) = 0
绕 Z 轴旋转一周：了(土 JX。+y2,Z)=0
JC = -¥（?） X — CL COS t
2、参数方程：v，='（，），如螺旋线：y = asint
z = n（。） z — bt
3、空间曲线在坐标面上的投影
jE（x, y,z） = O
、八，消去z,得到曲线在面xqy上的投
[G（x, y,z） = O
「H（x,_y） =。
影〈
[z = 0
（五）平面及其方程
1、点法式方程
A(x -x0) + B(y 一 %) + C(z -z0) = 0
法向量：H = (A,B,C),过点(x0,y0,z0)
2、一般式方程：Aj; + By + Cz + D — 0
5）椭圆抛物面：a1 b2 ~
2 2
匕
6）双曲抛物面（马鞍面）：奇—普
2 2
X y 1
1 = I
7）椭圆柱面：a2 T人2
2 2
二 —匕=1
8）双曲柱面：a2 人2
2 _
9）抛物柱面：X = QY
（四）空间曲线及其方程
F(x, y,z) = O
1、一般方程：＜、 n
[G(x, y,z) = O
X _ X。 J - Jo z _ z°
2、对称式(点向式)方程： = =
m n p
方向向量：s=(m,n,p),过点(x0,y0,z0)
x = xQ-\-mt
3、参数式方程：＜y = yo + nt
z = z0 + pt
4、两直线的夹角：河=(凹舟,Pi), s2 =(m2,n2,p2),
阮俱 + nrn2 + prp2\
COS0= / 1— T =
J + tiy + p； • J + + p。
mlm2 + %% + P1P2 = °
顷。性—卫 m2 n2 p2
5、直线与平面的