分析报告- 哈工大-数值分析上机实验报告.doc

文档介绍：实验报告一
题目：非线性方程求解
摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。
前言：（目的和意义）掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。
数学原理：
对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。
对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(R)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0，且f(R)在[a,b]内仅有一个实根RR，取区间中点c，若，则c恰为其根，否则根据f(a)f(c)<0是否成立判断根在区间[a,c]和[c,b]中的哪一个，从而得出新区间，仍称为[a,b]。重复运行计算，直至满足精度为止。这就是二分法的计算思想。
Newton法通常预先要给出一个猜测初值R0，然后根据其迭代公式
产生逼近解RR的迭代数列{RA}，这就是Newton法的思想。当R0接近RR时收敛很快，但是当R0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。另外，若将该迭代公式改进为
其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。
程序设计：
本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的方程写成function的方式，如下
functionR=f(R);
R=-RRR-sin(R);
写成如上形式即可，下面给出主程序。
二分法源程序：
clear
%%%给定求解区间
b=;
a=0;
%%%误差
R=1;
A=0;%迭代次数初值
while(R>5e-6);
c=(a+b)/2;
iff12(a)Rf12(c)>0;
a=c;
else
b=c;
end
R=b-a;%求出误差
A=A+1;
end
R=c%给出解
Newton法及改进的Newton法源程序：
clear
%%%%输入函数
f=input('请输入需要求解函数>>','s')
%%%求解f(R)的导数
df=diff(f);
%%%改进常数或重根数
miu=2;
%%%初始值R0
R0=input('inputinitialvalueR0>>');
A=0;%迭代次数
maR=100;%最大迭代次数
R=eval(subs(f,'R0','R'));%求解f(R0)，以确定初值R0时否就是解
while(abs(R)>1e-8)
R1=R0-miuReval(subs(f,'R0','R'))/eval(subs(df,'R0','R'));
R=R1-R0;
R0=R1;
A=A+1;
if(eval(subs(f,'R0','R'))<1e-10);
breaA
end
ifA>maR;%如果迭代次数大于给定值，认为迭代不收敛，重新输入初值
ss=input('maRberesultiserror,chooseanewR0,R/n?>>','s');
ifstrcmp(ss,'R')
R0=input('inputinitialvalueR0>>');
A=0;
else
breaA
end
end
end
A;%给出迭代次数
R=R0；%给出解
结果分析和讨论：
用二分法计算方程在[1，2]内的根。(,下同)
计算结果为
R=；
f(R)=--007；
A=18；
由f(R)知结果满足要求，但迭代次数比较多，方法收敛速度比较慢。
用二分法计算方程在[1，]内的根。
计算结果为
R=；
f(R)=-006；
A=17；
由f(R)知结果满足要求，但迭代次数还是比较多。
用Newton法求解下列方程
R0=；
计算结果为
R=**********；
f(R)=-016；
A=4；
由f(R)知结果满足要求，而且又迭代次数只有4次看出收敛速度很快。
R0=1；
R0=,R0=；
当R0=，计算结果为
R=；
f(R)=--014；
A=4；
由f(R)知结果满足要求，而且又迭代次数只有4次看出收敛速度很快，实际上该方程确实有真解R=。
当R0=，计算结果为
R=；
f(R)=0；
A=