文档介绍：第三章动量与角动量
牛顿定律是瞬时的规律。但在有些问题中,如:碰撞(宏观)、散射(微观)…我们往往只关心过程中力的效果,即只关心始末态间的关系,对过程的细节不感兴趣;而有些问题我们甚至尚弄不清楚过程的细节。
作为一个过程,我们关心的是力对时间和空间的积累效应。
力在时间
上的积累
力在空间上的积累作功,改变动能
§1 冲量,动量,
质点动量定理
定义:力的冲量
质点动量
由
有─动量定理(微分形式)
─动量定理(积分形式)
平均冲力
[例]已知:一篮球质量m = ,从h = ,到达地面后,以同样速率反弹,接触地面时间= 。
求:篮球对地面的平均冲力
解:篮球到达地面的速率为:
,
篮球接触地面前后动量改变(大小)为:
帆
u1
u2
F帆对风
u1
u2
Δu
风
F风对帆
F横
F
进
F横
F阻
龙骨
由动量定理有:
由牛顿第三定律有:
逆风行舟的原理如下图所示:
fi j
·
·
·
·
·
·
·
i
j
Fi
Pi
fj i
·
§2 质点系动量定理
对于质点系,设:为第i个质点受的合外力,为第i个质点受第j个质点的内力。
对第i个质点:
对质点系:
由牛顿第三定律有:
令
则或
──质点系动量定理(微分形式)
积分得
──质点系动量定理(积分形式)
质点系动量定理处理问题可避开内力,较方便。
§3 动量守恒定律
由质点系动量定理知,在一过程中,若质点系所受合外力为零,则质点系的总动量不随时间改变。这就是质点系的动量守恒定律。即
几点说明:
。
,因为力与惯性系的选择无关,故动量若在某一惯性系中守恒,则在其它任何惯性系中均守恒(这样的结论并非对所有守恒定律都适用,能否适用要看其守恒条件的成立是否不依赖于惯性系的选择)。
,则该方向上的分动量守恒,尽管总动量可能并不守恒。
,当外力<<内力,且作用时间极短时(如两物体的碰撞),往往可以略去外力的冲量,而认为动量守恒。
5. 在牛顿力学的理论体系中,动量守恒定律是牛顿定律的推论。但动量守恒定律是比牛顿定律更普遍、更基本的定律,它在宏观和微观领域、低速和高速范围均适用。
§4 质心
一. 质心的概念和质心位置的确定
在研究质点系的运动时,通常引入质量中心(简称质心)的概念。
如图示,设质心C的位矢为,它的定义式如下:
rC
z
·
·
·
·
·
·
·
·
×
C
mi
ri
y
x
O
()
是质点位矢以质量为权重的平均值。
,,
·
·
×
r1
r2
C
m1
m2
二. 几种系统的质心
·两质点系统
×
r
rC
dm
C
O
m
z
x
y
质心位置满足关系式(自己推导):
m1 r1 = m2 r2
·质量连续体
,…
·均匀的杆、圆盘、圆环和球的质心就是其几何中心。
·小线度物体(其上各处相等)质心和重心(重力合力的作用点)是重合的。
[例] 如图示,从半径为R的均质圆盘上挖掉一块半径为r的小圆盘,两圆盘中心O和O′相距为d,且(d + r)< R 。
求:挖掉小圆盘后,该系统的质心坐标。
C
d
x
y
O
O′
·
d
xC
O″
r
R
r
解:由对称性分析,质心C应在x轴上。把该系统视为在图中虚线位置挖掉小圆盘后剩余部分(质心在O)和在原处小圆盘的组合。令为质量的面密度,则质心坐标为:
§5 质心运动定理
一. 质心运动定理
质心运动的速度为:
·
·
·
·
·
·
·
·
×
C
mi
vC
vi
rC
ri
z
y
x
O
由此可得
质点系的总动量
由
有─质心运动定理
由质心运动定理知,质心运动可看成是把质量和力都集中在质心的一个质点的运动。
二. 质心(参考)系
研究质点系运动常用质心系,它是相对于一个惯性系作平动的参考系,质心在其中静止。简言之,质心系是固结在质心上的平动参考系。
质心系不一定是惯性系,只有合外力为零时质心系才是惯性系。
质点系的复杂运动通常可分解为:
质点系整体随质心的运动;
各质点相对于质心的运动。
前者即讨论质心的运动,后者就是在质心系中考察