文档介绍：第一章随机事件及其概率
§ 随机事件
§ 频率与概率
§ 古典概型与几何概型
§ 条件概率与事件的独立性
§ 全概率公式与贝叶斯公式
§ 全概率公式与贝叶斯公式
一、全概率公式
(引例) 有两个形状相同的罐子,在第一罐中装
有2个白球1个黑球,在第二罐中装有3个白球2个黑球,
某人任取一罐,从中任取一球,试求取得白球的概率。
解记为Ai事件“球取自第 i 罐”,i=1,2,B表示事件
“取得白球”。显然有
利用概率的有限可加性和乘法公式可得
由题意知
于是有
引例中计算概率P(B)的思想方法具有一般性,可
总结成如下定理:
(全概率公式)如果事件满足
如下条件:
(1)
(2) 两两互不相容,即
(3)
则对于任何一个事件B,有
证
化整为零
化难为易
注意:全概公式是一种“化整为零”“化难
为易”的的方法,它不仅使计算简单,而且使
分析问题的思路变得十分清晰,从而使题目的
难度大为降低。
例 10个乒乓球中有7个新球,第一次随机
地取出2个,用完后放回去,第二次又随机地取
出2个,求第二次取出的是两个新球的概率。
解以第一次随机地取出2个球的所有可能
结果作为完备事件组,记A1=“第一次取出2个新
球”,A2=“第一次取出1个新球1个旧球”, A3 =
“第一次取出2个旧球”,B=“第二次取出的是两
个新球”,则
于是,由全概公式得
为了解某支股票未来一定时期内价格的变化,
人们往往会去分析影响该股票价格的基本因素,比如利
率的变化。现假定经分析估计利率下调的概率为60%,
利率不变的概率为40%。根据经验分析,在利率下调的
情况下,该支股票价格上涨的概率为80%,而在利率不
变的情况下,该支股票价格上涨的概率为40%,求该支
股票价格将上涨的概率。
解记A为事件“利率下调”, 为事件“利率不变”,
B为事件“股票价格上涨”,依题意有