文档介绍：概率论与数理统计
概率论与数理统计
概率论部分
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§3. 频率与概率
(一) 频率
1. 在相同的条件下, 共进行了n次试验,事件A发生的次数nA, 称为A的频数, nA/n称为事件A发生的频率, 记为fn(A).
3. 频率的特性: 波动性和稳定性.
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: 设S是样本空间, E是随机试验. 对于E的每个事件A对应一个实数P(A), 称为事件 A的概率, 其中集合函数P(.)满足下列条件:
(1) 对任一事件A,有P(A)≥0; (非负性)
(2) P(S)=1;(规范性)
(3) 设A1,A2,…是两两互不相容的事件,则有
P(A1  A2 …)=P(A1)+P(A2)+…(可列可加性)
(二)概率
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:
一般地有: P(B-A)=P(B)-P(AB).
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推广
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例4. 设P(A)=p, P(B)=q, P(AB)=r, 用p, q, r表示下列事件的概率:
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§4. 等可能概型(古典概型)
等可能概型的两个特点:
例如:掷一颗骰子,观察出现的点数.
(1) 样本空间中的元素只有有限个;
(2) 试验中每个基本事件发生的可能性相同.
概率的古典定义:
对于古典概型, 样本空间S={1, 2, …, n}, 设事件A包含S的k个样本点,则事件A的概率定义为
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古典概型概率的计算步骤:
(1) 选取适当的样本空间S, 使它满足有限等可能的要求, 且把事件A表示成S的某个子集.
(2) 计算样本点总数n及事件A包含的样本点数k.
(3) 用下列公式计算:
加法原理:
完成一件工作, 有m类方法, 而第1类方法有n1 种
方法, 第2类方法有n2种方法,…,第m类方法有nm种方
法, 任选一种此工作就完成, 那么完成这项工作共有
N=n1+n2+…+nm种不同的方法.
乘法原理:
完成一件工作, 需要m个步骤, 而第1步有n1 种
方法, 第2步有n2种方法,…,第m步有nm种方法, 依
次完成这m步时这项工作才完成, 那么完成这项工
作共有 N=n1n2 … nm种不同的方法.
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例1. 袋中装有4只白球和2只红球.
从袋中摸球两次,:
(a)放回抽样; (b)不放回抽样.
求: (1)两球颜色相同的概率;
(2)两球中至少有一只白球的概率.
例2. 设一袋中有编号为1,2,…,9的球共9只, 现从中任取3只,试求:
(1)取到1号球的概率,(事件A)
(2)最小号码为5的概率.(事件B)
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例4. 将n只球随机地放入N (N≥n)个盒子中去,试求每个盒子至多有一只球的概率.(设盒子的容量不限).
例3. 将1, 2, . . . , n这n个数字任意排列, 试求:
(1) 2在1前面的概率;
(2) 1, 2, 3依次出现的概率.
注
生日问题
假定每个人在一年365天的任一天都等可能,
随机选取n(小于365)人,他们生日至少有两
个相同的概率为: