文档介绍：第五章极限定理
下面的强大数定律将()进行了推广.
是n次试验中的成功次数.
则
在n次独立重复试验中, 引入
由概率的频率定义知道,对于成功的频率
,有
§ 大数律
称随机变量的序列
为随机序列(random sequence).
其含义是n很大时, 与有非零差距的可能性很小。
, 是随机变量,
如果对任意的0,有
则称序列依概率收敛于. 记为
设随机序列独立同分布,
并且有限,则有
.
(weak law of large numbers).
由切比雪夫不等式得:
证明:
例1.(接§ )
在赌对子时, 甲每次下注100元. 如果他连续
下注n次, 证明他的盈利Sn满足
, n 时,
证明: 用Xi表示甲第i次下注的盈利, 则X1,X2,…, Xn独立同分布. 由§
利用
P(Sn > −18n) P(| −μ| > )
于是,
P(Sn −18n) = 1 − P(Sn > −18n) 1
说明下注的次数n越多, 至少输18n元的概率越大。
设是随机序列, 是随机变量,
.
如果
则称序列以概率1收敛于.
wp1 或 .。
记为
类似于()的结果称为强大数律(strong law of large numbers).
从强大数律结论()知道概率的频率定义是合理的。
设随机序列独立同分布,并且,则有
.
wp1. 则
强大数律结论比弱大数律结论要强:
证明:设 p 是任意小的正数,事件A1,A2…相互独立, P(Ai)= I[Ai] 表示Ai的示性函数,则 I[Ai] :
所以
说明有无穷个Ai发生的概率是1.
例2.
在多次独立重复试验过程中,小概率事件必然发生.