文档介绍：第4章功和能
§1 功
F
dr
m
q
·
1
2
L
×
×
功:力和力所作用的质点(或质元)的位移的标量积。
·功依赖于参考系;
·功是标量,有正、负之分。
§2 动能定理
对质点,由牛顿第二定律,有动能定理:
(对惯性系)
──动能
对质点系,有动能定理:
即
注意:内力虽成对出现,但内力功的和不一定为零(Q各质点位移不一定相同)。
§3 一对力的功
一对力
分别作用在两个物体上的大小相等、方向相反的力,我们称之为“一对力”。
一对力通常是作用力与反作用力,但也可以不是。如图示的
与就不是作用力与反作用力,但仍是一对力。另外,一对力中的两个力也并不要求必须在同一直线上。
f1 = - f2
f2
2
1
m1
y
×
B2
f1
f2
dr1
dr2
r21
m2
x
B1
A1
z
A2
o
r1
r2
×
×
×
·
·
二. 一对力的功
:m2相对于m1的元位移。
令:(1)表示初位形,即 m1在A1,m2在A2;
(2)表示末位形,即 m1在B1,m2在B2 。
则:
说明:
。为方便起见,计算时常认为其中一个质点静止,并以该质点所在位置为原点,再计算另一质点受力所做的功,这就是一对力的功。
(摩擦生热是一对滑动摩擦力作功的结果)。
S
m
u
f
地面
S¢
f′
以地面为参考系:
以滑块为参考系:
N′
N
v1
M
v12
光滑
m
2
1
v2
,一对力的功必为零。
上图中: , ,
, ,
但。
§4 保守力
定义
如果一对力所做的功与相对移动的路径无关,而只决定于相互作用的物体的始末相对位置,这样的力称为保守力。
如图示,在(1)和(2)点间有路径和路径,用积分上下限反映作功时沿路径的走向。对于保守力作功,必有:
f
(2)
(1)
L2
L1
r
·
m2
d r
L=L1+L2
· m1
即(为相对元位移)
上式表明:保守力沿闭合路径一周所做的功为零。这一结论也可以作为保守力的定义,它和保守力的功与路径无关的定义是完全等价的。
二. 几种保守力
:
如图示,质点M和m间有万有引力作用。认为M静止,
且选M为原点,则M对m的万有引力为: 。
(2)
^
·
d r
dr =r·d r
×
×
r
m
(1)
r2
r1
r
^
M
f
·
一对万有引力的功:
上式表明,一对万有引力的功与路径无关。所以万有引力是保守力。实际上,任何中心力都是保守力。
: (一维运动时)
x ─对自然长度的增加量,
k ─弹簧的劲度。
:
需要指明的是,严格地讲,重力并不是地球表面附近的万有引力。在第二章中已经指出,重力是地球表面附近的万有引力和惯性离心力的合力,在重力加速度中已经考虑了惯性离心力的贡献。
三. 非保守力
作功与路径有关的力称为非保守力。例如:
·摩擦力(耗散力):一对滑动摩擦力作功恒为负;
·爆炸力:作功为正。
§5 势能
利用保守力的功与路径无关的特点,可引入“势能”的概念。
一. 系统的势能
设两个以保守力相互作用的质点系统在位形(1)和(2)分别有势能Ep1和Ep2 。
定义
以上定义式表明,系统由位形(1)变到位形(2)的过程中,保守内力的功等于系统势能的减少(势能增量的负值)。
若规定系统在位形(0)的势能为零,即规定Ep 0 = 0 , 则系统在位形(1)的势能为:
说明:;
,但不可将势能零点的选择与参考系的选择相混淆。
二. 几种势能
,
令,则。
,
令,则。
,
x ─对自然长度的增加量,
k ─弹簧的劲度(倔强系数)。
令,则。
§6 由势能求保守力
dl
f保
q
m
l
f保l =f保 cos
θ
·
保守力的元功:
∴
这正是弹簧的弹力。
通常EP可以是几个坐标的函数,则
如, 则
称为EP的梯度。
§7 机械能守恒定律
一. 功能原理
对质点系有动