文档介绍：1
I-校园计划
流体力学的学校项目
流体中的波的模块
. Akylas & . Mei
第六章窄通道中的强迫频散波
沿着窄通道传播的线性表面重力波表现出一些特别的现象。首先,我们考虑沿着无限长
的窄通道传播的自由波。我们给出这个问题的解,这个解可看作波模态的叠加,并且我们图
解了一些概念如截止频率等。第二,我们考虑强迫波传播的半无限长的通道,强迫波通过位
于通道端部的造波器激励。如前面的情况,由造波器产生的波场可描述为波的叠加。随着造
波器开始激励流体,如果激励频率大于波的一阶模态的截止频率,产生波阵面并开始沿着通
道传播。如果激励频率低于波的一阶模态的截止频率,波的扰动只是在造波器附近,并且对
于特殊情况,激励频率刚好等于波的某一阶模态的谐振频率,在该模态和造波器之间产生共
振,并且随着时间的推移,在造波器处波的幅度逐渐增加。
没有考虑非线性和能量耗散的影响。在半无限长窄通道中的一端用造波器激励波,在这
章,我们通过动画得到和图解自由表面位移随时间的演变过程。
1 沿着窄波导传播的自由波
我们考虑沿无限长通道传播的自由波,通道的深度为h ,宽度为2b 。我们建立坐标系
x y,, z ,其中 x, z 在水平面,y 为垂直坐标轴。 x 轴沿着通道,侧壁位于±= bz ,底部在
平面−= hy 上。自由表面位于未知的=η( ,, tzxy )。假设无旋流,流体不可压缩,这样速
度场看作势函数φ tzyx ),,,( 的梯度,其中 t 为时间参量。通过下组方程给出自由波传播的线
性边界值问题。
∇2φ tzyx = 0),,,( 当−∞< x < ∞, −< yh < 0 和−< < bzb ()
∂2 ∂φφ
+ g = 0 当 y = 0 ()
∂t 2 ∂y
∂φ
= 0 当= −hy ()
∂y
∂φ
= 0 当= ±bz ()
∂z
和适当的辐射条件。这是均一边界值问题,可通过分离变量法进行求解。首先,我们假设沿
2
着通道传播的自由波可看作单频平面波的叠加。由于边界值问题的线性化,我们只需将其看
作频率ω的单一单频波进行求解。时变为
−ωti )exp(
现在,我们可给出势函数φ tzyx ),,,( 和自由表面位移η tzx ),,( 的形式
φ= φ−ωtizyxtzyx )exp(),,(),,,( ()
η=η−ωtizxtzx )exp(),(),,( ()
现在,假设方程式()~()给出的边界值问题为
∇ 2φ zyx = 0),,( 当−∞< x < ∞, −< yh < 0 和−< < bzb ()
∂φ
2φω+− g = 0 当 y = 0 ()
∂y
∂φ
= 0 当= −hy ()
∂y
∂φ
= 0 当= ±bz ()
∂z
其中,我们消去表面位移η zx ),( ,并将边界值问题缩减为一个因变量的边界值问题
φ zyx ),,( 。下面我们应用分离变量法求解式()和()的边界值问题。假设势函数如下
⎛ sin( z zk )⎞
φ zyx exp~),,( ()± ikx ⎜⎟()yH ( )
⎝cos()z zk ⎠
其中,kz 的可能值由±= bz 处的通道壁的边界条件所决定,并且常数k 的可能值下面将讨
论。如果将式()代入表示边界值问题的式()和(),得到函数(yH ) 的Sturm-Liouville
问题(二阶微分方程的一维边界值问题)。函数(yH ) 由下式给出
yy + Λ yHH = 0)( ()
2
ω gHyH y =+− 0)( 当 y = 0 ()
H y = 0 当= −hy ()
222
其中, z +−=Λ kk 。常数Λ表示一组波的特征值,是频率ω,重力加速度 g 和深度 h 的
函数。
3
如果将方程式()的边界条件代入势函数φ zyx ),,( ,认识到可用cos()z zk 和 sin()z zk
表示式()中的φ zyx ),,( ,但是需要用常数k z 不同组的可能值。k z 的这组值由边界条件
()决定,并在 cos( z zk )和sin(z zk ) 之间选择。如果考虑用 cos( z zk )项表示势φ zyx ),,( 与
z 的变化关系,常数k z 必假定为
π nπ
k ±= 其中n 为自然