文档介绍：函数《周期性、对称性专题》
函数的周期性与对称性
◆函数的轴对称
定理1：函数满足，则函数的图象关于直线对称.
推论1：函数满足，则函数的图象关于直线对称.
推论2：函数满足，则函数的图象关于直线（y轴）对称.
◆函数的周期性
定理2：函数对于定义域中的任意,都有，则是以为周期的周期函数；
推论1：函数对于定义域中的任意,都有，则是以（a－b）为周期的周期函数；
推论2：下列条件都是以2T为周期的周期函数：
； ② ； ③；
④； ⑤； ⑥．
◆函数的点对称
定理3：函数满足，则函数的图象关于点对称.
推论1：函数满足，则函数的图象关于点对称.
推论2：函数满足，则函数的图象关于原点对称.
◆函数轴对称、点对称与周期性
定理4：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.（若函数f(x)的图象关于直线x=a和x=b（b>a）都轴对称，则函数f(x)有无数条对称轴，且f(x)为周期函数，并且2(b-a)是它的一个周期）
定理5：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.（若函数f(x)的图象关于点（a,0）和(b,0)（b>a）都成中心对称，则函数f(x)有无数个对称中心，且f(x)为周期函数，并且2(b-a)是它的一个周期）
◆函数的奇偶性、对称性与周期性综合
定理6：若函数在R上满足，且（其中），则函数以为周期.（若函数f(x)的图象既关于直线x= a成轴对称，又关于点（b,c）（a
≠b）成中心对称，则f(x)为周期函数，并且4(b-a)是它的一个周期）
推论1：若奇函数f(x)的图象关于直线x=a(a≠0)轴对称，则f(x)为周期函数，4a是它的一个周期；
推论2：若奇函数f(x)的图象关于点(a,0) (a≠0)中心对称，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期；
推论3：若偶函数f(x)的图象关于直线x=a(a≠0)轴对称，则f(x)为周期函数，2a是它的一个周期；
推论4：若偶函数f(x)的图象关于点(a,0) (a≠0)中心对称，则f(x)为周期函数，4a是它的一个周期。
定理7：函数为偶函数函数关于直线x=a对称；函数为奇函数函数关于点对称。
练****1：对称性
1、设函数的定义域为R，且满足，则
图象关于________对称。
2、设函数的定义域为R，且满足，则图象关于________对称。
3、设函数的定义域为R，且满足，则图象关于______对称,图象关于__________对称。
4、设的定义域为R，且对任意，有，则图象关于__________对称，关于__________对称。
5、已知函数对一切实数x满足，且方程有5个实根，则这5个实根之和为________ ___ 。
6、设函数的定义域为R，则下列命题中:
① 若是偶函数，则图象关于y轴对称；
② 是偶函数，则图象关于直线对称；
③ ，则函数图象关于直线对称；
④ 与图象关于直线对称.
其中正确命题序号为___ ____。
练****2：周期性
1、已知函数是上的偶函数，若对于，都有，且当时，，则的值为（）
A． B． C． D．
2、已知定义在R上的奇函数，满足,且在区间[0,2]上是增函数,则 ( )
A. B.
C. D.
3、设是定义在上以6为周期的函数，在内单调递减，且的图像关于直线对称，则下面正确的结论是（）
A. B.
C. D.
4、函数对于任意实数满足条件，若则_____ ___。
5、已知定义在R上的奇函数f(x)满足f(x+2)=－f(x),则,f(6)的值为______ __。
6、设函数f(x)定义在R上,满足f(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x),且在区间[0,7]上,只有f(1)= f(3)=(x)=0在闭区间[-200
8,2008]上的根的个数.
7、函数定义域为R，且恒满足和，当时，，求解析式。
练****3：奇偶性、对称性与周期性综合
1、函数的定义域为R，若与都是奇函数，则( )
C.
2、若定义在R上的函数f(x)满足：对任意x1,x2R