工程数学-线性代数第答案0.doc

文档介绍：工程数学-线性代数第五版答案06
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第六章　线性空间与线性变换
1. 验证所给矩阵集合对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间, 并写出各个空间的一个基。
(1） 2阶矩阵的全体S1；
解 设A, B分别为二阶矩阵, 则A, BÎS1. 因为
(A+B）ÎS1, kAÎS1,
所以S1对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间。
, , ,
是S1的一个基.
（2）主对角线上的元素之和等于0的2阶矩阵的全体S2；
解 设, , A, BÎS2. 因为
,
,
所以S2对于矩阵的加法和乘数运算构成线性空间。
, ,
是S2的一个基.
(3） 2阶对称矩阵的全体S3.
3

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解 设A, BÎS3, 则AT=A, BT=B. 因为
（A+B）T=AT+BT=A+B, (A+B)ÎS3,
（kA）T=kAT=kA, kAÎS3,
所以S3对于加法和乘数运算构成线性空间.
, ,
是S3的一个基。
2. 验证: 与向量（0, 0, 1)T不平行的全体3维数组向量， 对于数组向量的加法和乘数运算不构成线性空间。
解 设V={与向量(0, 0, 1)T不平行的全体三维向量｝, 设r1=（1, 1, 0）T, r2=(-1, 0, 1)T, 则r1, r2ÎV, 但r1+r2=(0, 0, 1)TÏV, 即V不是线性空间.
3. 设U是线性空间V的一个子空间， 试证: 若U与V的维数相等, 则U=V.
证明　设e1, e2, ×××, en为U的一组基, 它可扩充为整个空间V的一个基， 由于dim（U）=dim(V), 从而e1, e2, ×××, en也为V的一个基, 则: 对于xÎV可以表示为x=k1e1+k2e2+ ××× +krer. 显然, xÎU， 故VÍU, 而由已知知UÍV, 有U=V.
4。 设Vr是n维线性空间Vn的一个子空间， a1, a2, ×××, ar
4

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是Vr的一个基。 试证: Vn中存在元素ar+1, ×××, an, 使a1, a2, ×××, ar， ar+1, ×××, an成为Vn的一个基。
证明 设r<n, 则在Vn中必存在一向量ar+1ÏVr, 它不能被a1, a2, ×××, ar线性表示， 将ar+1添加进来, 则a1, a2, ×××, ar+1是线性无关的。 若r+1=n, 则命题得证， 否则存在ar+2ÏL(a1, a2, ×××, ar+1), 则a1, a2, ×××, ar+2线性无关， 依此类推, 可找到n个线性无关的向量a1, a2, ×××, an, 它们是Vn的一个基.
5。 在R3中求向量a=（3, 7, 1)T在基a1=(1, 3, 5）T, a2=(6, 3, 2)T, a3=(3, 1, 0）T下的坐标。
解 设e1, e2, e3是R3的自然基, 则
（a1, a2, a3)=（e1, e2, e3）A,
（e1, e2, e3)=(a1, a2, a3）A-1,
其中, .
因为