《泛函分析》上册课后习题答案(张恭庆)完整版.pdf

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1．1．1 证明完备度量空间的闭子集是一个完备的子空间， 而
任一度量空间的完备子空间必是闭子集．
(1) 设 X 是完备度量空间, M
X 是闭的. 要证
M 是一个完备的子空间.
证  xm , xn  M,
xm  xn

0

m, n


 xm , xn  X,
xm  xn

0

m, n
,
 X 是完备度量空间,
  x  X, 使得 xn
x.
xn  M, xn
x
 x  M.
M
X 是闭的
 xm , xn  M,
xm  xn

0,
m, n

 x  M, 使得 xn
x
 M 是一个完备的子空间.
(2) 设 X 是一度量空间, M 是 X 的一个完备子
空间.
要证 M 是闭子集. 即, 若 xn  M, xn
x.
要证 x  M.
证 因为收敛列是基本列, 所以
xn  M,
xm  xn

0,
m, n
, 又
M 是完备度量空间,



所以  x  M, 使得 xn
x .
xn
x
 x  x
 M.


xn
x
(Newton法) f 是定义在 a, b 上的二次连续可微的实
2
， x  a, , x  , x

证存在 x 的邻域 U
x  ，使得  x0  U
x  迭代序列
f
x n 
xn1  xn 

n  0,1,2,
f
x n 
lim xn  x
是收敛的，并且 n

证明
 f
x
Tx  x 
,
f
x

2


f
x f
x f
x f x f

x
d
Tx  1  

 ,
dx
2
2
f
x f
x




 f
x   0, f
x  0. f
x 在点 x 处
连续,
f x f

x
 lim

  0,