文档介绍：§ 分部积分法与换元积分法(一) 教学目的:熟练掌握第一、二换元积分法与分部积分法. (二) 教学内容:第一、二换元积分法;分部积分法. ————————————————————————如何计算不定积分? xdx 2 cos ? 我们知道, ???Cx xdx sin cos , 那么是否有 Cx xdx ??? 2 sin 2 cos ?显然不对。计算不定积分, 仅有直接积分法还是不行的。如? xdx 2 cos 、? xdx ln 、? xdx tan 等积分就不能直接积分,下面探讨其它的计算不定积分的方法。一、换元积分法 1 .凑微分法定理 1 (第一换元积分法)若函数)(xu??在[a,b] 可导,且?????)(x ,],[????u ,有)()(xfxF??,则函数)( )]([xxf???存在原函数)]([xF?,即 CxFdxxxf????)]([)( )]([???** 具体应用此定理计算不定积分时,其过程是这样的: ??????????????????CxFCuFdu ufxdxfdxxxf xu xu )]([)()()( )]([)( )]([ )()(???????例7 .求??dx x 35 分析: 我们有公式???Cxdxx 3 434 3 , 而上述积分中被积函数根号里面还要加 5, 不能直接用公式。为了能用公式计算,进行凑微分: )5(??xddx 解:CxCudu uxdxdx x xuxu???????????????????????3 453 43 533)5(4 34 3)5(55 例8 .求??dx x)85 sin( 分析:为了能应用公式计算,进行凑微分: )85(5 1??xddx 解:?????????????udu xdxdx x xu sin 5 1)85()85 sin( 5 1)85 sin( 85CxCu xu????????????)85 cos( 5 1 cos 5 1 85 一般地,在计算积分的时候,有时为了化为能用公式计算,我们常根据需要作下面的凑微分公式: (1))()( 1)(baxdbaxfa dxbaxf????** 计算熟练以后, 就可以省略“设”的步骤, 把所设的式子当作一个整体, 在心里面想着它是一个变数,就可以使书写简化。如上面的例子,就可以简化为 Cxxdxdx x????????? 3 4 33)5(4 3)5(55Cxxdxdx x??????????)85 cos( 5 1)85()85 sin( 5 1)85 sin( 例9 .求? dxex x 121 分析:注意到我们有????????x ddxx 11 2 解:Cex dedxex xxx????????????? 111211 一般地,我们有凑微分公式: (2)du ufk xdxfk dxxfx kkkk)( 1)()( 1)( 1???特殊地,有????????????????????x dx fdxx fx 1111 2 ,?????? xdxfdxxfx 2 1?,?? 22 1xd xdx ?等等。除此以外,我们还可以写出许多凑微分公式: (3);)( sin ) (sin cos ) (sin du ufxdxf xdx xf??(4);)( cos ) (cos sin ) (c