文档介绍：§3 泰勒级数设函数 f (z)在区域 D内解析, 而|??z 0 |=r为D内以 z 0为中心的任何一个圆周, 它与它的内部全含于 D, 把它记作 K, 又设 0K zr ?按柯西积分公式, 有 1 ( ) ( ) d , 2π Kf f z i z ???????且 0 0 0 0 0 0 0 10 0 0 1 1 1 1 ( ) ( ) 1 , , ( ) 1 1, ( ) nnn z z z z z z z z K z K z z z z z z z ? ? ???? ?????? ???? ??????? ?? ?? ???由于积分变量取在圆周上点在的内部所以 101 00010 1 ( ) d ( ) ( ) 2π( ) 1 ( ) ( ) d . 2π( ) Nn n nKnn n N Kf f z z z i z f z z i z ? ???????????? ?? ?? ??? ?? ?? ?? ??? ???????z 0K zr ?由解析函数高阶导数公式,上式可写成( ) 100 0010 ( ) ( ) ( ) ( ) ! 1 ( ) ( ) ( ) 2π( ) nNnN nn Nn n N K f z f z z z R z nf R z z z d i z ????????? ??? ?? ?? ??? ?????其中( ) 00 0 lim ( ) 0 , ( ) ( ) ( ) ! NNnn n R z K f z f z z z n ?????? ??如果能证明在内成立则在K内成立, 即 f (z)可在 K内用幂级数表达. 000 z z z z q z r ???? ??令,q与积分变量?无关, 且0?q <1. z 0K zr ? K含于 D, f (z ) 在D内解析, 在K上连续, 在K上有界, 因此在 K上存在正实数 M 使| f (z ) | ? π2π2 1 d|| |)(|π2 1 d)()( )(π2 1|)(| 0 00 010????????????????????????????????????? N N Nn n K Nn n K Nn nn Nq Mq rqr M sz zzz f szzz fzR?????因此, 下面的公式在 K内成立: ( ) 00 0 ( ) ( ) ( ) ! nn n f z f z z z n ??? ??称为 f (z)在z 0的泰勒展开式, 它右端的级数称为 f (z)在z 0处的泰勒级数. 圆周 K的半径可以任意增大, 只要 K在D内. 所以, 如果 z 0到D的边界上各点的最短距离为 d, 则 f (z)在z 0的泰勒展开式在圆域|z?z 0|<d (泰勒展开定理) 设 f (z)在区域 D内解析, z 0为D内的一点, d为z 0到D的边界上各点的最短距离, 则当|z?z 0|<d 时, 00 ( ) 0 ( ) ( ) , 1 ( ), 0,1, 2, . ! nnnnn f z