文档介绍：总体分布中常含有参数,一般常用表示参数,参数估计问题就是从样本出发构造一些统计量作为某些未知参数的估计量。通常都是对总体的期望和方差进行估计
参数估计的形式有两种:点估计与区间估计。
第二章参数估计
设 X1, X2,…, Xn 是来自总体 X 的一个样本,我们用一个统计量作为的估计量, 称为的点估计(量),简称估计。在这里如何构造统计量并没有明确的规定,只要它满足一定的合理性即可。这就涉及到两个问题:
其一是如何给出估计,即估计的方法问题;
其二是如何对不同的估计进行评价,即估
计的好坏判断标准。
点估计的几种方法
一、矩估计
用样本矩及其函数去替换相应的总体矩及其函数,步骤如下:
(2)解m个方程组成的方程组,得
一般地,
为的估计量
譬如:
对某型号的20辆汽车记录其每加仑汽油的行驶里程(km),观测数据如下:
经计算有
由此给出总体均值、方差的估计分别为: , 。
矩估计的实质是用经验分布函数去替换总体分布。
例2 设总体X的分布密度为
求参数的矩估计量
解:
设总体服从指数分布,由于EX=1/,
即=1/ EX,故的矩估计为
另外,由于Var(X)=1/2,其反函数为因此,的矩法估计也可取为
B2为样本方差。这说明矩估计是不唯一的,这是矩法估计的一个缺点,此时通常应该尽量采用低阶矩给出未知参数的估计。
例4 x1, x2, …, xn是来自(a,b)上的均匀分布U(a,b)的样本,a与b均是未知参数,这里k=2,由于
不难推出
由此即可得到a, b的矩估计:
(二)极(最)大似然估计
定义设总体的概率函数为f(x;),x1, x2 , …, xn 是样本,将样本的联合概率函数看成的函数,用L(; x1, x2, …, xn) 表示,简记为L(),
称为样本的似然函数。