文档介绍：数值分析:
研究各类数学问题求解的数值计算及相关理论分析。
随着计算机的产生和发展,数值分析越来越多地研究如何借助于计算机求解相关问题。
计算方法:
随着计算机产生和发展而建立的一个重要数学分支,是研究建立计算机解决各种数学问题的数值计算及相关理论分析。
第一章绪论
(计算方法)介绍:
主要内容:
(1)数值计算:非线性方程求根,(非)线性方程组求解,插值,逼近(最小二乘拟合),数值微分(积分),常微分方程,矩阵特征值求解,偏微分方程数值解,……
(2)理论分析:误差分析,计算过程的收敛性、稳定性(数学角度上),算法的计算时间复杂度,存储容量大小(计算机角度上)
特点:
具有数学的抽象性和逻辑严密性
又具有广泛的应用性和高度的技术性(与计算机结合密切的一门课程)
使用计算机进行数值问题求解是主要研究对象。
如何学习这门课?
这门课的学习意义,数值计算的重要性;
如何上这门课(教材), 学习方法;
上课形式(授课、上机、大型实验);
成绩评定(平时、实验、期中、期末).

真实值与观察、测量或计算的值之间存在差异,其差称为误差。
结合实际问题求解,误差来源可分为:
(1). 模型误差(实际问题→数学问题),
如抽象化、忽略次要因素等.
(2). 观测误差(数学问题中的数据初始值观察
测量时产生)
(3). 截断误差(计算过程中存在的一些无限计算),如无穷级数求和(无限次→有限次: ,
(4). 舍入误差(计算结果中存在数据无限位,如Pi,无理数→有理数,)
整个误差来源可做图表示:
分析:误差是不可避免的,应尽量减少误差,提高精度(如选择好的计算方法)

定义:设为准确值, 是近似值, 为绝对误差
分析:
①e可正可负(并不因为是绝对误差,就以为是正值)
②e值实际上无法知道, 不知道,
但能知道误差的某个范围(即误差限)
例:毫米刻度的尺子,正常情况下误差不超过
.
定义:若,则称为绝对误差限, 为正数,有:

为什么引入?
因为用厘米刻度的尺子测量1米长和10米长的物体,㎝,但测量精度分别为1/100和1/1000,所以为了较好反应测量精确度,引入相对误差。
定义: 为准确值, 为近似值,则
分析:
(1). 可正可负
(2).
(3). 无法知道,因为不知道,
也可表示为
和之间关系为:
(可作为习题)
因为无法求出,所以通常考虑相对误差限
若
或
则称为相对误差限。
有效数字
当有很多位数表示时,可按四舍五入取前几位。
定义:如果近似值的误差限是其末位上的半个单位,且该位直到的第一个非零数字共有n位,则有n位有效数字。
具体计算:对,从左往右数,从第一个非零数字开始,直到最右面的数共有n个,且其误差限为末位的个单位,则有效数字为n。
例:,取五位有效数字,,
例: =
若=,
但若=,
误差限为
则有5位有效数字,因为误差限<
则只有4位有效数字,因为误差限>