文档介绍：第三章静电场的边值问题
主要内容
电位微分方程,镜像法,分离变量法。
1. 电位微分方程
已知,电位与电场强度 E 的关系为
对上式两边取散度,得
对于线性各向同性的均匀介质,电场强度 E 的散度为
那么,线性各向同性的均匀介质中,电位满足的微分方程式为
该方程称为泊松方程。
对于无源区,上式变为
上式称为拉普拉斯方程。
泊松方程的求解。
已知分布在V中的电荷在无限大的自由空间产生的电位为
因此,上式就是电位微分方程在自由空间的解。
应用格林函数,即可求出泊松方程的通解为
式中格林函数为
对于无限大的自由空间,表面 S 趋向无限远处,由于格林函数及电位均与距离成反比,而 dS 与距离平方成正比,所以,对无限远处的 S 表面,上式中的面积分为零。
若 V 为无源区,那么上式中的体积分为零。因此,第二项面积分可以认为是泊松方程在无源区中的解,或者认为是拉普拉斯方程以格林函数表示的积分解。
数学物理方程是描述物理量随空间和时间的变化规律。对于某一特定的区域和时刻,方程的解取决于物理量的初始值与边界值,这些初始值和边界值分别称为初始条件和边界条件,两者又统称为该方程的定解条件。静电场的场量与时间无关,因此电位所满足的泊松方程及拉普拉斯方程的解仅决定于边界条件。根据给定的边界条件求解空间任一点的电位就是静电场的边值问题。
通常给定的边界条件有三种类型:
第二类边界条件是给定边界上物理量的法向导数值,这种边值问题又称为诺依曼问题。
第三类边界条件是给定一部分边界上的物理量及另一部分边界上物理量的法向导数值,这种边界条件又称为混合边界条件。
第一类边界条件给定的是边界上的物理量,这种边值问题又称为狄利克雷问题。
对于任何数学物理方程需要研究解的存在、稳定及惟一性问题。
泊松方程及拉普拉斯方程解的稳定性在数学中已经得到证明。可以证明电位微分方程解也是惟一的。
由于实际中定解条件是由实验得到的,不可能取得精确的真值,因此,解的稳定性具有重要的实际意义。
解的惟一性是指在给定的定解条件下所求得的解是否惟一。
解的稳定性是指当定解条件发生微小变化时,所求得的解是否会发生很大的变化。
解的存在是指在给定的定解条件下,方程是否有解。
静电场是客观存在的,因此电位微分方程解的存在确信无疑。
静电场的边界通常是由导体形成的。此时,若给定导体上的电位值就是第一类边界。已知导体表面上的电荷密度与电位导数的关系为,可见,表面电荷给定等于给定了电位的法向导数值。因此,给定导体上的电荷就是第二类边界。
因此,对于导体边界的静电场问题,当边界上的电位,或电位的法向导数给定时,或导体表面电荷给定时,空间的静电场即被惟一地确定。这个结论称为静电场惟一性定理。
2. 镜像法
实质:是以一个或几个等效电荷代替边界的影响,将原来具有边界的非均匀空间变成无限大的均匀自由空间,从而使计算过程大为简化。
依据:惟一性定理。因此,等效电荷的引入必须维持原来的边界条件不变,从而保证原来区域中静电场没有改变,这是确定等效电荷的大小及其位置的依据。这些等效电荷通常处于镜像位置,因此称为镜像电荷,而这种方法称为镜像法。
关键:确定镜像电荷的大小及其位置。
局限性:仅仅对于某些特殊的边界以及特殊分布的电荷才有可能确定其镜像电荷。
(1)点电荷与无限大的导体平面。
介质
导体
q
r
P
介质
q
r
P
h
h
介质
以一个处于镜像位置的点电荷代替边界的影响,使整个空间变成均匀的介电常数为的空间,则空间任一点 P 的电位由 q 及 q' 共同产生,即
考虑到无限大导体平面的电位为零,求得
电场线与等位面的分布特性与第二章所述的电偶极子的上半部分完全相同。
由此可见,电场线处处垂直于导体平面,而零电位面与导体表面吻合。
电场线
等位线
z
电荷守恒:当点电荷q 位于无限大的导体平面附近时,导体表面将产生异性的感应电荷,因此,上半空间的电场取决于原先的点电荷及导体表面上的感应电荷。可见,上述镜像法的实质是以一个异性的镜像点电荷代替导体表面上异性的感应电荷的作用。根据电荷守恒原理,镜像点电荷的电量应该等于这些感应电荷的总电量,读者可以根据导体表面电荷密度与电场强度或电位的关系证明这个结论。
半空间等效:上述等效性仅对于导体平面的上半空间成立,因为在上半空间中,源及边界条件未变。