文档介绍：第四章态和力学量的表象
引入:三维空间中的一个矢量
,可在直角坐标系OXYZ下表示为
(Ax,Ay,Az),其中Ai(i=x,y,z)是
在三个坐标轴上的投影。
同一个矢量
也可以在另一个旋转
角(绕Z 轴的)直角坐
标系O
下表示为(
),二组投影分量之间
可以用矩阵或线性方程组进行变换。
矢量也可在球坐标系下
为(Ar,A A ),与(Ax,Ay,Az)之间也可以作坐标变换。一个矢量可以在不同的坐标系下表示,即有许多等价的表示方式,可根据解决问题的方便需要来选择。
量子力学的状态和力学量的具体表达方式称为表象(repreenstation)
通过广义傅利叶变换,可以将(x)坐标表象的状态矢量变换为以P,E等为变量的状态矢量,即变换到动量表象,能量表象,角动量表象等。
Chapter 态的表象
一,状态用动量为变量的波函数描写:
1,
其中(1)
归一化:
简记:c(p)=(
(2)
(3)
粒子动量值在
中的几率。实际上
为同一状态
在动量表象中的波函数。
2,具有确定动量值的
的自由粒子的态:
(4)
则
略去含时因子:
:变量
:确定值
简记:
(5)或(6)是具有确定动量的粒子的状态在动量表象中的表示。
3,具有确定坐标的粒子状态在坐标表象中的表示:
(7)也是坐标表象中坐标算符的本征值方程。
二,任意力学量的表象中的状态的表示
1,分立谱,例如无限深势阱中电子,H原子中电子束缚态,谐振子
,设力学量的算符具有分立的本征值:
对应分立的本征函数:
则可以用正交归一完全系将展开为级数:
其中
简记:
归一化:
即若已归一化,则也自然归一化。是在所描写的态中测量力学量
所得结果为的几率,而数列
就是所描写的态在表象中的表示。写为
列矢量:
其转置复共轭为:
:dagger
归一化:
2,分立谱+连续谱
例如,氢原子中电子能量:束缚态,电离态连续;有限深方势阱,当
为束缚态,
分立
,
则连续, 也是
又:完全连续谱例子:电子自由运动时的动量,动能,自由粒子的坐标,H原子
中电子的
坐标表象的波函数用算符的本征函数系展开:
例如 H基态的表象波函数即为状态在表象中的表示,
即测量力学量数值为的几率,而即测量力学量值的结果在
内的几率。
归一化:
状态矢量:
归一化:
归纳:求力学量
表象中波函数即用算符的本征
函数的共轭与坐标空间波函数相乘并积分:
三,希尔伯特空间(Hibert space)
1,状态态矢量,选定一个表象,即选定一特定的坐标系来描述, 的本征函数
系即为这个表象中的基矢, 表象中的波函数即态矢
量在表象中沿各基矢方向的分量。量子力学中的的本征函数

有无限多,所以张成了描写态矢量的无限希尔伯特空间。
2,表象常用:

一
1,
,算符
以左乘(3)并积分:
即
其中
为算符在表象中的表示。
分别为状态和在表象中的表示。