文档介绍：第七章线性变换
判别下面所定义的变换那些是线性的，那些不是:
1）在线性空间V中，= + 其中a WV是一固定的向量;
2）在线性空间V中，其中a WV是一固定的向量；
3)
4)
5)
6)
在P 3中，A （兀1，兀2，兀3 ）=（兀1，兀2 +兀3，兀3 ）；
在P［兀］中,人/（劝=/（兀+1）
在 P?中，A(X1^X2^3)=(2x1 -X2,%2 .
在P［X］中，A，（x）= f（x0）＞其中兀0 wP是一固定的数;
7）把复数域上看作复数域上的线性空间，A口.
8）在P""中，4X=BXC其中B,CeP，!Xn是两个固定的矩阵.
解1）当a = 0时，是;当a H 0时,不是。
2）当a = 0时，是;当Q H 0时,不是。
3） a = （1,0,0）, k = 2 时,k A （a） = （2,0,0）, A 伙a） = （4,0,0）,
A(ka) kA(a)o
a = (xi,x2,x3),j3 = (y1,y2,y3),有 A(a + 0)=A(X +歹1，兀2 +%，兀3 +歹3)
二（2坷+ 2“ 一兀2 一力，兀2 +歹2 +兀3 +歹3，兀1 + X）
二(2坷-X2,X2 + 兀3，鬲)+ (2必—歹2，歹2 +歹3，歹1)
=Aa+A/3,
A(ka) = A (Axj ,kx2,kx3)
=(2kx{ - kx2, kx2 + g,納)
=(2kx{ - kx2, kx2 + , Axj)
=kA (a),
故4是P?上的线性变换。
f(x) e P[x],g(x) e P[x]，并令
"(x) = f(x) + g(x)则
4 (f(x) + g(x))=A u(x) = u(x + 1)= f(x + 1) + g(x +1) =A f(x) + A (g(x)), 再令 v(x) = kf(x)则 A = A (v(x)) = v(x + 1) = kf{x + l) = kA (/(%)),
故A为P[x]±的线性变换。
f(x) e P[x\,g(x) e P[x]则.
A (/(x) + g(x)) = f(x0 ) + g(x0 ) = A (/(%))+A (^(x)),
4 (伊(x)) = kf{x0 ) = kA (/(%))。
不是，例如取 a=l,k=I,则 A(ka)=-i, k(Aa)=i, A(ka) kA(a)o
是，因任取二矩阵X,Y EPnxn,则 A(X + y) = B(X + Y)C = BXC+ BYC = AX +AY ,
A(kX )= B伙X) = k(BXC) = kAX ,故4是P"X"上的线性变换。
在几何空间中,取直角坐标系oxy,以4表示将空间绕ox轴由oy向oz方向旋转90度的变换, 以B表示绕oy
轴向ox方向旋转90度的变换，以C表示绕oz轴由ox向oy方向旋转90度的变换，证明：a4=b4=c4=e,ab*ba,a2b2=b2a2 ,并检验(AB)2=A2B2是否成立。
解任取一向量a=(x,y,z),则有
因为
Aa=(x,-z,y), A2 a=(x,-y,-z), A3 a=(x,z,-y), A 4 a=(x,y,z),
Ba=(z,y,-x), B? a=(-x,y,-z), B3 a=(-z,y,x), B4 a=(x,y,z),
Ca=(-y,x,z), C? a=(-x,-y,z), C3 a=(y,-x,z), C4 a=(x,y,z),
所以 a4=b4=c4=e<,
因为 AB(a)=A(z,y,-x)=(z,x,y), BA⑻=B(x,-z,y)=(y,-z,-x),
所以AB^BAo
因为 A2 B2 (a)=A2 (-x,y,-z)=(-x,-y,z), B2 A2 (a)=B2 (x,-y,-z)=(-x,-y,z),
所以 A2B2 =B2A2 o
因为(AB)2 (a)=(4B)(4B(a))_=4B(z,x,y)=(yz,x), A2 B~ (a)=(-x,-y,z),
所以(AB)2 B2 o
在 P[x]中，A /(%) = f' (x),B f (%) = xf{x),证明 AB-BA=Eo
证任取/(x) eP[x],则有
(AB-BA) /(x) =AB/(x) -BA /(x) =A(对(x))-B( f (x)) = /(x) + xf' (x) - xf (x) = /(x)
所以 AB-BA=Eo
设 A,B 是线性变换，女口果证明：Ak B-BAk =k Ak~' (k>l)。
证采用