文档介绍：第四章量子力学中的力学量
§1 算符的运算规则
§2 动量算符和角动量算符
§3 电子在库仑场中的运动
§4 氢原子
§5 厄密算符的本征值与本征函数
§6 算符与力学量的关系
§7 共同本征函数
§8 测不准关系
(一)算符定义
(二)算符的一般特性
§1 算符的运算规则
代表对波函数进行某种运算或变换的符号
Ô u = v
表示Ô 把函数
u 变成 v,
Ô 就是这种变
换的算符。
1)du / dx = v ,
d / dx
就是算符,其作用
是对函数 u 微商,
故称为微商算符。
2)x u = v,
x
也是算符。
它对 u 作用
是使 u 变成 v。
由于算符只是一种运算符号,所以它单独存在是没有意义的,仅当它作用于波函数上,对波函数做相应的运算才有意义,例如:
(一)算符定义
(7)逆算符
(8)算符函数
(9)复共轭算符
(10)转置算符
(11)厄密共轭算符
(12)厄密算符
(1)线性算符
(2)算符相等
(3)算符之和
(4)算符之积
(5)对易关系
(6)对易括号
(二)算符的一般特性
(1)线性算符
Ô(c1ψ1+c2ψ2)= c1Ôψ1+c2Ôψ2
其中c1, c2是任意复常数,
ψ1, ψ1是任意两个波函数。
满足如下运算规律的
算符Ô 称为线性算符
(2)算符相等
若两个算符Ô、Û对体系的任何波函数ψ的运算结果都相
同,即Ôψ= Ûψ,则算符Ô 和算符Û 相等记为Ô = Û。
例如:
开方算符、取复共轭就不是线性算符。
注意:描写可观测量的力学量算符都是线性算符,这是态叠加原理的反映。
(3)算符之和
若两个算符Ô、Û
对体系的任何波函数ψ有:
( Ô + Û) ψ= Ôψ+ Ûψ= Êψ
则Ô + Û = Ê 称为算符之和。
显然,算符求和满足交换率和结合率。
例如:体系Hamilton 算符
注意,算符运算没有相减,因为减可用加来代替。
Ô - Û = Ô + (-Û)。
很易证明线性算符之和仍为线性算符。
(4)算符之积
若Ô (Û ψ) = (ÔÛ) ψ=Êψ
则ÔÛ = Ê 其中ψ是任意波函数。
一般来说算符之积不满足
交换律,即
ÔÛ ≠ÛÔ
这是算符与通常数运算
规则的唯一不同之处。
(5)对易关系
若ÔÛ ≠ÛÔ,则称Ô 与Û 不对易。
显然二者结果不相等,所以:
对易关系
量子力学中最基本的
对易关系。
若算符满足
ÔÛ = - ÛÔ,
则称Ô 和Û
反对易。
写成通式:
但是坐标算符与其非共轭动量
对易,各动量之间相互对易。
注意: 当Ô 与Û 对易,Û 与Ê 对易,不能推知Ô 与Ê 对易与否。例如:
(6)对易括号
为了表述简洁,运算便利和研究量子
力学与经典力学的关系,人们定义了
对易括号: [Ô,Û ]≡ÔÛ - ÛÔ
这样一来,
坐标和动量的对易关系
可改写成如下形式:
不难证明对易括号满足如下对易关系:
1) [Ô,Û] = - [Û,Ô]
2) [Ô,Û+Ê] = [Ô,Û ] + [Ô, Ê]
3) [Ô,ÛÊ] = [Ô,Û]Ê+ Û[Ô,Ê]
4) [Ô,[Û,Ê]] + [Û,[Ê, Ô]] + [Ê,[ Ô,Û]] = 0
上面的第四式称为 Jacobi 恒等式。
(7)逆算符
1. 定义: 设Ôψ= φ, 能够唯一的解出
ψ, 则可定义
算符Ô 之逆Ô-1 为:
Ô-1 φ= ψ
并不是所有算符都存
在逆算符,例如投影
算符就不存在逆.
I: 若算符Ô 之逆Ô-1 存在,则
Ô Ô-1 = Ô-1 Ô = I , [Ô , Ô-1] = 0
证: ψ= Ô-1φ= Ô-1 (Ô ψ) = Ô-1 Ô ψ
因为ψ是任意函数,所以Ô-1 Ô = I成立. 同理, Ô Ô-1 = I
亦成立.
II: 若Ô, Û 均存在逆算符,
则(Ô Û)-1 = Û-1 Ô-1