文档介绍：生产函数与成本函数的对称性
摘要：生产函数与成本函数是在生产过程中密切相关 、相互对应的两个函数。本文讨论
短期生产函数与短期成本函数、长期生产函数与长期成本函数的对称关系。
关键词：生产函数成本函数对偶关系齐次函数弹性
生产函数与成本函数是微观经济学中两个重要的概念， 它们分别是从实物形态和货
币形态讨论厂商生产行为的两个方面。 在生产过程中假定技术水平保持不变， 则生产取决于
要素投入。即生产过程中所使用的各种生产要素的数量与所能生产的最大产量之间的关系就 是生产函数。因而生产要素的投入量与要素价格完全决定了生产成本。 在完全竞争的条件下，
要素价格是既定不变的，因而生产要素直接沟通了生产函数与成本函数的关系。
1■短期生产函数与短期成本函数的关系
设生产函数表示为y = y ( Xj,X2...Xn),其中y是要素投入组合(Xj,X2..Xn)下的产量，
xi是第i种要素的投入量。假设劳动 L是惟一的可变投入要素，其它要素投入量都是固定
不变的，则这时的短期生产函数可以简化为 y = y (L)。由生产函数在生产第二阶段上的单调
性，其反函数| =l」(y)存在。所以，生产函数y = y (L )所对应的成本函数为 C = b +w • L
1
=b +w • l ( y)。若已知成本函数 C = b +w • L = b + f ( y)，由于成本函数是关于产量 y的
单调递增函数，所以生产函数为 y = f J (w • L )。
2■长期生产函数与长期成本函数的关系
若长期生产过程中，所有要素投入均为可变。已知生产函数为 y = y ( Xi ,X2...Xn)，设在
n
要素投入组合X = ( Xi ,X2...Xn)下的成本函数为c = 2 Pini,其中pi为要素Xi ( i = 1,2, ?,
i珀
n
n)的价格。假设Pi是固定不变的。在既定产量条件下求最小成本 ，知成本函数c = v p^i
i=1
n
由如下模型确定 mi nc=W pi n i ,sty=y ( Xi ,X2...Xn)……(1)
i 4
构造拉格朗日函数
0
/小化的一阶条件为：寻丄i—);八从—
(2)
n
L ( xi ,入)=、• p* —(y-yd^x?…,xn)),由极值原理，得成本最
i 4
反之,在既定成本投入条件下求最大产量 ，知生产函数y = y ( x1 , x2 , ?, xn )由如下模型确定：
maxy = y ( x1 , x2 , ?, xn ); sty=y ( Xi ,X2...xn) ⑶
n
构造拉格朗日函数 丄(xi ,入)=y ( x1 , x2 , ?, xn ) +入[C- '、 pi xi ],
i丄
n
= 1,2,.... n); c =c(y) =、 PjXj (4)
i
dy
，入= e'( y)为边际成本 汙是有
de
由极值原理，得产量最大化的一阶条件：应二丄(i
Pi 扎
此处，不难验证入’=dy为最后一单位成本增加的产量
de
1
，故在确定的生产函数 y = y ( x1 , x2 , ?, xn )
n
与成本函数C = C ( y)= 二Pi Xi,条件
iT
下，