文档介绍：2002级量子力学期末考试试题和答案
A卷
一、简答与证明:(共25分)
1、什么是德布罗意波?并写出德布罗意波的表达式。(4分)
2、什么样的状态是定态,其性质是什么?(6分)
3、全同费米子的波函数有什么特点?并写出两个费米子组成的全同粒子体系的波函数。(4分)
4、证明是厄密算符(5分)
5、简述测不准关系的主要内容,并写出坐标和动量之间的测不准关系。(6分)
二、(15分)已知厄密算符,满足,且,求
1、在A表象中算符、的矩阵表示;
2、在B表象中算符的本征值和本征函数;
3、从A表象到B表象的幺正变换矩阵S。
三、(15分)设氢原子在时处于状态
,求
1、时氢原子的、和的取值几率和平均值;
2、时体系的波函数,并给出此时体系的、和的取值几率和平均值。
四、(15分)考虑一个三维状态空间的问题,在取定的一组正交基下哈密顿算符由下面的矩阵给出
这里,,是一个常数,,用微扰公式求能量至二级修正值,并与精确解相比较。
五、(10分)令,,分别求和作用于的本征态和的结果,并根据所得的结果说明和的重要性是什么?
一、1、描写自由粒子的平面波称为德布罗意波;其表达式:
2、定态:定态是能量取确定值的状态。性质:定态之下不显含时间的力学量的取值几率和平均值不随时间改变。
3、全同费米子的波函数是反对称波函数。两个费米子组成的全同粒子体系的波函数为:。
4、=,因为是厄密算符,所以是厄密算符。
5、设和的对易关系,是一个算符或普通的数。以、和依次表示、和在态中的平均值,令,,
则有,这个关系式称为测不准关系。
坐标和动量之间的测不准关系为:
二、解1、由于,所以算符的本征值是,因为在A表象中,算符的矩阵是对角矩阵,所以,在A表象中算符的矩阵是:
设在A表象中算符的矩阵是,利用得:;由于,所以,;由于是厄密算符,,
令,其中为任意实常数,得在A表象中的矩阵表示式为:
2、类似地,可求出在B表象中算符的矩阵表示为:
在B表象中算符的本征方程为:,即和不同时为零的条件是上述方程的系数行列式为零,即

对有:,对有:
所以,在B表象中算符的本征值是,本征函数为和
3、类似地,在A表象中算符的本征值是,本征函数为和
从A表象到B表象的幺正变换矩阵就是将算符在A表象中的本征函数按列排成的矩阵,即
三、解: 已知氢原子的本征解为:
,将向氢原子的本征态展开,
1、=,不为零的展开