文档介绍：第 15 次课日期周次星期学时:2
内容提要:
第五章振动学基础
§ 简谐振动
;简谐振动的方程;简谐振动方程的解。
描述振动的几个物理量
;位相和初相;振幅。
简谐振动的特征
简谐振动的能量
简谐振动的另一个例子---单摆
目的要求:
,能根据简谐振动的三个判据判定简谐振动。 。
。
重点与难点: 简谐振动的概念及表示简谐振动的特征量;简谐振动方程的求法;简谐振动的能量特征及其应用。
教学思路及实施方案:
本次课应强调:
。
:
(1);即作简谐振动的物体,其位移是时间的余弦(或正弦)函数。
(2).,即当物体作简谐振动时,加速度与位移成正比且反向。
(3).,即当物体所受的合外力(称为回复力)与位移成正比且反向时,物体的振动是简谐振动。
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教学内容:
简谐振动的方程及其解
简谐振动是机械振动中最简单、最基本的一种。物体振动时,其位置坐标随时间按余(或正)弦规律变化,这种振动称为简谐振动。例如,在忽略阻力的情况下,弹簧振子的振动,单摆、复摆的小角度振动等都是简谐振动。本节我们以理想的弹簧谐振子模型为例,研究简谐振动的方程。
令,则
初始条件: 时, ; 可得
所以,
令则有
式中A、φ为积分常数,分别称为谐振动的振幅和初相,其物理意义随后讨论。上式称为简谐振动的运动方程,也称振动方程。
顺便指出,任何一个物理量随时间变化的规律如遵从上式,从广义上讲,该物理量所表征的物理过程就是简谐振动。
描述振动的几个物理量
周期:简谐振动是周期性运动,其运动方程满足正弦或余弦函数的变化规律,每隔一个固定的时间间隔T,运动状态重复一次,称时间T为振动的周期,即完成一次全振动所经历的时间。
频率:物体在一秒钟内振动的次数,称为频率,用ν表示,它和周期成倒数关系,即
:
(1)位相
由振动方程()式知,当作谐振动的物体的振幅A和圆频率ω都已确定时,振动物体任意时刻的坐标、速度、加速度都由(ωt+φ)决定。我们定义(ωt+φ)为简谐振动在t时刻的相位,(又称为位相或周相),它是描述振动状态的物理量。一定的相位同时决定振动物体的位移(x)和运动速度(v)。对一个以确定频率和振幅作简谐振动的质点来说,凡是位移和速度都相同的状态,它们所对应的相位之间必然相差2π或2π的整数倍。因此用相位表征质点振动状态的优点在于它充分反映了振动的周期性特征。
用相位来描述质点的振动状态可以很方便地比较两个同频率的谐振动的步调:
同相:当Δφ=2kπ(k=0,1,2,…)时,两振动质点将同时达到各自位移同方向的极大值,并且同时越过原点而且向同方向运动,任何时刻它们振动的步调相同,称这两振动为同相。
反相:当Δφ=(2k+1)π(k=0,1,2,…)时,两振动质点同时经过原点向相反方向运动,同时达到位移的最大位置,任何时刻它们的振动步调都相反,称这两振动为反相。
(2)初相:
t=0时,(ωt+φ)=φ,φ表示振动物体初始时刻的相位,称为初相。初相决定于振动的初始条件(求振幅和初相的第一种方法):
若时,
由:, 可得
,。两式联立求解可得
,
其中:。
:表示振动物体偏离平衡位置的最大幅度,称为振幅。
简谐振动的特征
1.;即作简谐振动的物体,其位移是时间的余弦(或正弦)函数。
2.,即当物体作简谐振动时,加速度与位移成正比且反向。
3.,即当物体所受的合外力(称为回复力)与位移成正比且反向时,物体的振动是简谐振动。
思考题:拍皮球是否为简谐振动?
简谐振动的能量
可以看出,动能最大时,势能最小,动能最小时,势能最大,简谐振动的过程正是动能、势能相互转换的过程。
总能量:,即简谐振动过程中机械能守恒。
平均势能和平均动能:,简谐振动在一个周期内的平均势能和平均动能相等,都等于总机械能的一半。
思考题:求简谐振动中动能等于势能的位置。
五。简谐振动的另一个例子---单摆
用一不可伸长的轻线悬挂一小球,小球可视为质点,这样一个振动系统称为单摆,如图所示。分析质点受力:在竖直平面它受到重力和悬线拉力作用。在这两力合力作用下,质点在竖直平面内沿圆弧摆动,其平衡位置为oo′。