文档介绍：第三章 量子力学中的力学量
The Dynamical variable in Quantum Mechanism
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引言
经典力学中物质运动的状态总用坐标、动量、角动量、自旋、动能、势能、转动能等力学量以决定论的方式描述。而量子力学的第一个惊人之举就是引入了波函数这样一个基本概念,以概率的特征全面地描述了微观粒子的运动状态。但并不能作为量子力学中的力学量。于是,又引入了一个重要的基本概念——算符,用它表示量子力学中的力学量。算符与波函数作为量子力学的核心概念相辅相成、贯穿始终。
这部分是量子力学的重要基础理论之一,也是我们学习中的重点。
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表示力学量的算符
operator for dynamical variable
动量算符与角动量算符
momentum operator and angular momentum operator
电子在库仑场中的运动
The motion of electrons in Coulomb field
氢原子
Hydrogen atom
厄米算符本征函数的正交性
Orthonormality for eigenfunction of Hermitean operators
力学量算符与力学量的关系
Relationship between Operator and dynamical variable
算符的对易关系两力学量同时有确定值的条件测不准关系
mute The Heisenberg Uncertainty Principle
力学量随时间的变化守恒律
The dynamical variable with respect to time The conservation laws
讲授内容
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学习内容
、动量算符的表示形式及它们间的对易关系;
;
:箱归一化和函数归一
化;
;
基本步骤;定态波函数的表达形式;束缚态的能级及其简
并度;氢原子的能级、光谱线的规律;电子在核外的概率
分布;电离能和里德伯常数;
;厄米算符的本征函
数组成正交完备集;
;力学量可能值、概率、
平均值的计算方法,两个力学量同时具有确定值的条件;
;
。
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重点掌握内容
一个基本概念:厄米算符(作用及其基本性质);
两个假设: 力学量用厄米算符表示;
状态用厄米算符本征态表示,力学量
算符的本征值为力学量的可测值
三个力学量计算值:确定值、可能值、平均值;
四个力学量算符的本征态及本征值:坐标算符,动量
算符,角动量算符及能量算符(哈密顿算
符)及它们的本征值。
一个关系:力学量算符间的对易关系(特别是坐标
算符与动量算符的对易关系,角动量算符
对易关系)
三个定理: 共同本征态定理(包括逆定理)
不确定关系
力学量守恒定理
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由前面的讨论,我们看到,当微观粒子处在某一状态时,一般而言,其力学量(如坐标、动量和能量等)不一定具有确定的值,而以一定几率分布取一系列可能值(当然,可能在某些特殊的状态,有些力学可取确定值)。
若知道粒子在动量表象中的波函数,同理可求出粒子动量或的平均值。
表示力学量的算符
若已知粒子在坐标表象中的状态波函数,按照波函统计解释,利用统计平均方法,可求得粒子坐标或的平均值
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(1)坐标平均值
设粒子的状态波函数为或
粒子的位置处在: 间的几率为
表示力学量的算符(续1)
坐标平均值
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利用计算出坐标的平均值
称为坐标算符
Prove:
表示力学量的算符(续2)
对此作一次分部积分
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表示力学量的算符(续3)
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(2)动量平均值
粒子的动量值处于
间的几率为:
利用坐标为变量的波函数计算动量平均值
其中
─坐标算符
表示力学量的算符(续4)
动量平均值
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