文档介绍：常微分方程的基本方法
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微分方程基础
微分方程是含有函数及其导数的方程。
如果方程(组)只含有一个自变量(通常是时间t)，则称为常微分方程。否则称为偏微分方程。
例：下面的方程都是微分方程：
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微分方程的解是函数，对应一个变化过程。常微分方程的解是随时间t变化的函数，比如一辆汽车在公路上飞驰，一个球从空中落下等。
偏微分方程不但描述物体随时间变化发生位置的改变，而且物体各部分之间的位置的相对变化。如水的流动，烟雾的扩散，公路上车流的涌动等。
微分方程解决的主要问题：
(1)描述对象特征随时间(空间)的演变过程
(2)分析对象特征的变化规律
(3)预报对象特征的未来性态
(4)研究控制对象特征的手段
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微分方程模型包括两个部分：方程和定解条件。
由于微分方程的求解需要借助微分的逆运算—积分，而积分出现任意常数，因此方程的解不唯一，需要附加条件将所求的解唯一确定下来。这样的条件称为定解条件。
常微分方程的定解条件：对一个m阶常微分方程，需要积分m次才能将解函数求出，因此需要m个定解条件。方程组的定解条件个数是每个方程定解条件个数之和。
定解问题分为初值问题和边值问题。
初值问题的定解条件在同一个点上，而边值问题的定解条件在不同点上。
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偏微分方程的定解条件比较复杂。一般来讲，分为对时间的定解条件(初始条件)和对空间变量的条件(边界条件)。
对特定的问题如波动问题、热传导问题和对流-扩散问题，有确定的模型和相应的初边值条件的设定方法，可以直接查阅书籍和文献。
例：区域上的热传导问题。
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导数的意义：瞬时变化率
在实际上我们遇到的描述变化的词有
速率(物理)
增长率(经济，生物，人口等)
衰变(原子反应)
边际的(经济)
瞬时变化率的描述：
绝对增加率：单位时间增加的量。
相对增加率：单位时间增加的百分比。
变化率= 增加率-减少率
由于是瞬时的，其量的关系只有在很短的时间间隔中才能够利用静态的方法分析。(微元法)
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微分方程的建模方法：
(1)利用导数的意义，建立含有导数的方程(微分方程)。
(2)微元法。
微分方程的稳定性理论：
对微分方程组
若f(x0)=0，则称x0是方程组的平衡点。
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如果在平衡点x0处，f(x)的Jacobi矩阵
的所有特征值的实部都小于0，则x0是稳定的平衡点，如果存在某个特征值的实部大于0，则x0是不稳定的平衡点。
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稳定的平衡点的实际意义：
如果微分方程存在稳定的平衡点，设x(t)是微分方程的解，则当t时， x(t)趋向于某个稳定的平衡点。
例：对Logistic方程，
它有两个平衡点 x=0和x=N。其中x=0是不稳定的平衡点，x=N是稳定的平衡点。
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例1：某人的食量是2500卡/天。其中1200卡用于基本的新陈代谢。在健身训练中，他每公斤体重所消耗的热量大约是16卡/天。设以脂肪形式贮存的热量100%有效，且1公斤脂肪含热量10000卡，分析这个人体重的变化。
分析：问题研究人体重量随时间的变化w(t)。条件给出的是
热量单位时间的变化
2500-1200-16w(t)
转换成体重为
(2500-1200-16w(t))/10000
因此得到变化关系
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