文档介绍：定态薛定谔方程为:
氢原子的薛定谔方程的解
1、氢原子的定态薛定谔方程
氢原子中电子绕原子核的运动,相当于核不动,电子绕核作圆周运动。若其半径为r,则其势能函数为
由于势能只与r有关,是球对称的,而与方向无关,为了计算方便,采用球坐标。球坐标下的拉普拉斯算符为:
在球坐标系下:
在球坐标系下的薛定谔方程:
此偏微分方程可以用分离变数法化成常微分方程求解,即设代入上式得:
方程(1)的解为
方程(2)的解为
由标准化条件决定:l=0,1,2, •••••, 同时限定给定一 l
ml只能取下列2l+1
是连带的勒让德函数
角度部
分的解:
方程(3)的解为
其中:Nnl为归一化常数, 为一常数,
为缔合勒盖尔多项式。
同时规定了 l 的取值范围,即对于某一确定n ,l可能取n个值:l=0,1,2,…n-1
氢原子的波函数:
讨论n、l、ml 参数的物理意义
为主量子数或称能量量子数。
(1)能量量子化
在求解方程(3)时,电子处于束缚态时,E只能取
一些分立的负值,即:
能级公式
n=1的能级称为基态能级
n>1的能级称为激发态能级,取值如下:
如图所示,n增大时, 能级间隔减小;n很大时间隔非常小,可看成连续变化。
1
2
6
5
3
4
氢原子能级图
-
-
-
-
Enl
主量子数 n
(2)角动量量子化
方程(2)得到的波函数()表明:电子绕核转动的角动量是量子化的,其大小为:
其中:l 称为角量子数或称副量子数。用来描述波函数
的空间对称性。
说明:1、L只能取由l 决定的一系列分立值,即量子化。
2、不同的 n 值,只要 l=0,则L=0
3、对于同一n值,l 不同时,L有不同的值。所以
氢原子内电子的运动状态必须同时用n, l 才能
确切地表征。
一般s、p、d、f、g……等字母表示 l=0,1,2, ……,显然,对于s
态的电子来说,其动量矩L=0.
(3)角动量的空间取向量子化
方程(1)得到的波函数()表明:电子绕核转动的角动量空间取向是量子化的,设:外磁场方向为Z轴方向,Lz表示L在外场方向投影大小,则
这里的 ml即为前面讲的m,称为磁量子数。对应一个 l,ml有2l+1个值,即角动量的空间取向有2l+1种可能。
索末菲在1915-1916年提出:氢原子中的电子绕核作圆周轨道运动,轨道平面在空间的取向不是任意的,而只能取有限的特定方位,这既是轨道空间量子化假设。
如图,即为n=4(l=0,1,2,3)电子的角动量空间取向量子化的情形
ml=Lz/h
1
-1
0
0
0
1
1
-1
-1
-2
-2
2
2
3
-3
(4)电子自旋
电子具有自旋是由施特恩和盖拉赫用实验证明的。在相对论动力学中,由理论推导电子必须具有自旋;但在非相对论动力学中,电子的自旋是根据实验引进的。
K
B
N
S
P
K原子射线;B狭缝;
NS磁场;P照相板
结果:无外场时,P上沉积一
条正对B的痕迹;有外
场时,出现几条不连
续的线状痕迹。
此实验最初用s态银原子进行,原子射线分裂为二条,且二者偏转上下对称。因 s态原子l=0本身无动量矩和磁矩。