文档介绍：第二部分数学物理方程
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第十二章数学物理方程和定解条件第 1 页
第十二章数学物理方程和定解条件
数学物理方程,通常指从物理学及其他各门自然科学、技术科学中所产生的偏微分方程,
有时也包括与此有关的积分方程、,
•静电势和引力势满足的Laplace方程或Poisson方程
•波的传播所满足的波动方程
•热传导问题和扩散问题中的热传导方程
•连续介质力学中的Navier–Stockes方程组和Euler方程组
•描写电磁场运动变化的Maxwell方程组
•作为微观物质运动基本规律的Schr¨odinger方程和Dirac方程
•弹性力学中的Saint-Venant方程组
(组)多是二阶线性偏微分方程(组).所以,本课程将集中讨论几种典型的二阶
线性偏微分方程.
及解法.
§ 弦的横振动方程第 2 页
§ 弦的横振动方程
有一个完全柔软的均匀弦,沿水平直线绷紧,而后以某种方法激发,使弦在同一个平面上
.
弦的横振动
µ ¶ µ ¶
∂u ∂u
tan θ1 = , tan θ2 =
∂x x ∂x x+dx
取弦的平衡位置为x轴,且令端点坐标为x = 0与x = l.
设u(x, t)是坐标为x的弦上一点在t时刻的(横向)(弦
元).弦元的弦长足够小,以至于可以把它看成是质点.
分析弦元受力:它在两个端点x及x + dx处受到张力的作用.
因为弦是完全柔软的,故只受到切向应力张力T 的作用,
时,略去了重力的作用.
因此有
∂2u
(T sin θ) −(T sin θ) = dm ,
x+dx x ∂t2
(T cos θ)x+dx −(T cos θ)x = 0.
小振动近似:x+dx与x两点间任一时刻横向位移之差u(x+dx, t)−u(x, t),与dx相
比是一个小量,即
|∂u/∂x| ¿ 1.
在小振动近似下,
µ ¶
∂u ∂u
sin θ≈ tan θ= 略去了的三级项,
∂x ∂x
µ ¶
∂u
cos θ≈ 1 略去了的二级项.
∂x
这样,就有
(T )x+dx −(T )x = 0 即(T )x+dx = (T )x,
说明T 不随x变化,,
"µ ¶ µ ¶ #
∂2u ∂u ∂u ∂2u
ρdx 2 = T −= T 2 dx,
∂t ∂x x+dx ∂x x ∂x
§ 弦的横振动方程第 3 页
即
∂2u ∂2u
ρ− T = 0,
∂t2 ∂x2
其中ρ是弦的线密度(单位长度的质量).定义
r
T
a = ,
ρ
则方程可以写成
∂2u ∂2u
− a2 = 0.
∂t2 ∂x2
a就是弦的振动传播速度.
还可以证明:在小振动近似下,张力T
p
ds − dx = du2 + dx2 − dx
s µ ¶ µ µ ¶ ¶
∂u 2 ∂u 2
= 1 + − 1 dx = O ,
∂x ∂x
所以,在准确到∂u/∂x的一级项(即小振动近似)的条件下,弦元的长度不随时间变
,按照Hooke定律,T 也不随时间变化.
前面又已经证明过,T 也不随x变化,所以T 是一个常数.
如果弦在横向(即位移u的正向)上还受到外力的作用,设单位长度所受的外力为f,则仿照
前面的推导,有
∂2u ∂2u
ρdx = T dx + fdx.
∂t2 ∂x2
因此,
∂2u ∂2u f
− a2 = ,
∂t2 ∂x2 ρ
其中的非齐次项f/ρ是单位质量所受的外力.
§ 杆的纵振动方程第 4 页
§ 杆的纵振动方程
考虑一均匀细杆,
况(即位移)完全相同.
杆的纵振动应力与应变
F ,取杆长方向为x轴方向,垂直于杆长方向的各截面均用它的平衡位置x标记.
F 在任一时刻t,此截面相对于平衡位置的位移为u(x, t).
F 在杆中隔离出一小段(x, x + dx),分析受力:
•通过截面x,受到弹性力P (x, t)S的