文档介绍：第二篇数学物理方程
第七章数学物理方程的定解问题
数学物理方程的导出
一、基本思路
:建立描述物理过程的微分方程。
:物理过程由物理量的变化描述→选取物理量,
物理量的微分表示它的变化;
物理过程服从物理规则(牛顿定律,库伦定律等)
→建立微分方程。
二、几种基本的方程
变化
B
弦的原长
现长
弦长的变化产生回到原位置的张力
沿x-方向,这一段弦不出现平移
弦长,质量密度,B段的质量为。
沿垂直于x-轴方向
小振动:
波动方程。
波速
在上式推导过程中,出现的力是弦内的张力,外力为零。
在受到与弦垂直方向的周期力的作用时,弦运动为受迫振动。
设单位长度上弦受力,则 dx 受力为。
最后得受迫振动方程
:胡克定律
Y:杨氏模量,
单位面积上的应力。
杆中选 L=dx 长一段
时刻t,x 一端位移 u,
x+dx 一端位移 u+du。
杆的伸长
当取更长的dx,两端的相对伸长和
应力将不同,杆受力
又,牛顿定律:
即
为波速
补充
连续性方程
连续分布的某种物理量,如介质:建立座标
密度:单位容积中物理量的多少
流强度:单位时间通过单位面积
的该物理量(v 为流速)
单位时间沿 x- 方向净流入量
单位时间净流入量等于由密度增加的量
二者相等得连续性方程
表示物质的总量守恒
:
当振动在液体和气体中传播时,液体和气体就成为传播振动
的连续介质。在其中取一个小的立方体,可以定义介质在此
的密度ρ,速度 v 和压强 P。振动引起密度的疏密变化。
例如,在静止的介质中,介质的速度为零,并且有压强和密度。
当振动出现时,介质中各处有介质的振动速度 v ,振动的传播速度-声速;
显然, v<<声速,并且设密度的相对变化 s 为
欧拉方程(流体动力学方程)
连续性方程
物态方程
声传播为绝热过程:
过程方程
s,v 小量,f=0
4. 真空电磁波方程
电磁学的麦克斯韦方程(微分形式)
真空时:
5. 扩散方程
A. 扩散现象
系统的浓度 u(x) 不均匀时,将出现物质从高浓度处到低浓度处的转移,叫扩散。
浓度梯度:
扩散流强度:单位时间通过单位面积的物质的量
C. 扩散方程
D 均匀
三维
连续性方程
带入菲克定律
热传导: 热量从温度高的地方到温度低的地方转移。
热力学问题。
热力学第一定律:
热力学过程交换的热量
热力学过程外界对系统做的功
系统的内能
热传导过程 dW=0,
系统传导的热量就是内能的改变。
能量守恒,满足连续性方程
系统的温度
热流强度:单位时间通过单位面积的热量。
傅立叶定律:
热传导系数