文档介绍：第八章麦克斯韦电磁理论和电磁波
1。一平行板电容器的两极板为圆形金属板,面积均为S,接于
一交流电源时,板上的电荷随时间变化,即。
试求:
(1) 电容器中的位移电流密度的大小;
(2) 设为由圆板中心到该点的距离,两板之间的磁感应强度分
布
解(1)由题意可知, ,对于平行板电容器电位
移矢量的大小为
所以,位移电流密度的大小为
(2) 由于电容器内无传导电流,故。又由于位移电流具
有轴对称性,故可用安培环路求解磁感应强度。设为由圆板
中心到场点的距离,并以为半径做圆周路径L。根据全电流
安培环路定理可知
通过所围面积的位移电流为
所以
最后可得
注释:由于平行板电容器极板上的电荷随时间作周期性变化,
可知电容器极板间的电场也是时间的函数,则由随时间变化的
电位移通量可求出位移电流。由于全电流具有轴对称性,可
用全电流安培环路定理求出磁场强度H,最后求得磁感应强度B。
从结果中看到,B B(r,t),表明在平行板电容器中的磁场是非
均匀磁场。
2。充电,试求:如图(a)所示,用二面积为的大圆盘组成一
间距为d的平行板电容器,用两根长导线垂直地接在二圆盘的中
心。今用可调电源使此电容器以恒定的电流
(1) 此电容器中的位移电流密度;
(2) 如图(b)所示,电容器中点的磁感应强度;
(3) 证明在此电容器中从半径为、厚度为的圆柱体表面流
进的电磁能与圆柱体内增加的电磁能相等。
解(1) 由全电流概念可知,全电流是连续的。电容器中位移电
流密度的方向应如图(c)所示,其大小为
通过电源给电容器充电时,使电容器极板上电荷随时间变化,从
而使极板间电场发生变化。因此,也可以这样来求:
因为
由于,因此
所以
(2) 由于传导电流和位移电流均呈轴对称,故磁场也呈轴对
称,显然过点的线应为圆心在对称轴上的圆,如图(c)
所示。
根据全电流安培环路定理,将用于此
线上,有
得
所以
(3) 在电容器中作半径为、厚度为的圆柱体,如图(d)所示。
由坡印廷矢量分析可知,S垂直指向圆柱体的侧壁,这
表明电磁场的能量是从侧壁流人圆柱体内的。在单位时间内流人
的能量为
因为。
所以
由于传导电流和位移电流都不随时间变化,故磁场和磁场的能量
也都不随时间变化。但电容器中的电场是随时间增强的,故电场
的能量是随时间增加的。图(d)中圆柱体内单位时间内增加的
电场的能量为
显然,单位时间内流人圆柱体的能量与圆柱体内增加的能量相等。
注释: 本题中由于电源给平行板电容器稳定充电,电容器极板上
电荷不断变化,使极板内部电场稳定变化,产生不随时间变化的
位移电流,进而在电容器内部激发磁场。由于传导电流和位移电
流的对称性分布,可用安培环路定理求解B。问题(3)中的结果
表明电磁场的能量是从电容器的侧面流入的,且单位时间内流入
电容器中的能量与电容器内增加的能量相等。
3。如图所示,已知电路中直流电源的电动势为12V、电阻R = 6Ω
,电容器的电容,试求:
(1)接通电源瞬时电容器极板间的位移电流:
(2) s时,电容器极板间的位移电流;
(3) 位移电流可持续多长时间。(通常认为经过10倍电路时
间常数后电流小到可忽略不计)
解: 对串联电路的暂态过程有
求解该方程得: ,表示极板
上的电荷量是随时间变化。