文档介绍：数学分析（二）试卷9
一、 叙述题：（每小题5分，共15分）
1、 定积分
2、 连通集
3、 函数项级数的一致连续性
二、 计算题：（每小题7分，共35分）
1、
(sin(ln x)dx
2、 求三叶玫瑰线r = a sin 36, 0 e ［0,^］围成的面积
3、 求x„ cos—的上下极限
2/7 + 1 5
4、 求幕级数的和
n=\ 2”
/Ay/
5、
u=/（、,*）为可微函数，求O2+O2在极坐标下的表达式
dx dy
三、讨论与验证题：（每小题10分，共30分）
2 2 1 1
1、已知 f(x,y) = <
(x +y )sin —cos— x ^0,y^0 . .. 工, 、
x y ，求 hm /(x,y)，问
c n-P- n (时)T(。，。)
0 x = 0 或* = 0
limlim /（、,*）, limlim/（x,y）是否存在？为什么？
xtO y—>0 _y->0 xtO
f
oo 1
办的敛散性。
xp +xq
rjY
3、讨论九（x） = x e ［0,1］的一致收敛性。
1 + n + x
四、证明题：（每小题10分，共20分）
1、设/（x）在［a,+8）上单调增加的连续函数，了（0） = 0,记它的反函数广 顷），证
明［/（x）dx + f 广'3）力 Z ab （"〉0,”〉0）
00 00
2、设正项级数〃收敛，证明级数也收敛
n-\ «=1
参考答案
、1、设有定数/, Vf >^>0,使得对任意的分法
a = xQ <xx < - <xn =b 和任意的点g [x^pxj ,只要九=max(A^) < 5 ,成立
1<Z<»
-I <s
i=l
2、S的任意两点x, y之间，都存在S中的一条道路r,则称S为连通集
3^ \fs > 03N(s) > 0,使得 Vm >n > N , J&iL\ail+i + an+2 +•■• + an\<s
二、1、jsin(lnx)办=xsinlnxI：一『cos(lnx)办=esinl —ecosl + 1— JsinQnx)办 (5 分)Jsin(lnx)t& (esin 1 - ecos 1 +1) (2 分)
2 71 2
2、
3、
山对称性知，所求的面积为：6x— fsin23O/^ = — （7分）
2由 4
|
解：,下极限为一cos— （7分）
2 5
4、
解：lim?
"TOO \.
2"
S , r=2 (3 分)
收敛域为（-3, 1）,级数的和为」一
1 — X
（4 分）,
5、解：设极坐标方程为
x = rcos0,y = rsinO
d x
F cos。+ uy sm0- = -r sin 9ux +rcos 0uy
5+
如罗（2分）
三、1、解、由于sin —cos—有界，亍+尸为无穷小，lim /（、,*） =0 （5分） x y （时）t（o,o）
2 2 1 1 2 1 1 2 1 1
limlim(x + y )sin — cos — = x sin — cos—— lim* sin — cos —) xt。