文档介绍：独立性及贝努里概型
.

两个事件的独立性
先看一个具体的例子

设袋中有五个球（三新两旧）每次从中
解: 显然
P(A)=
, P(B|A)=
.
, P(B)=
P(B|A)= P(B),
取一个，有放回地取两次，记A=｛第一次取得新
球｝,B=｛第二次取得新球｝，
求P(A), P(B), P(B|A).
由此可得 P(AB)= P(A) P(B).
设 A、B
F,若P(AB)= P(A) P(B) 则称
根据定义，两个事件的独立性实质上就是一个事件
和不可能事件
与任何事件都相互独立的，因为
事件A、B是相互独立的，简称为独立的.
的发生不影响另一个事件的发生. 必然事件
必然事件与不可能事件的发生与否，的确不受任何
事件的影响，也不影响其它事件是否发生.

分别掷两枚均匀的硬币，令A=｛硬币甲出现正面｝, B=｛硬币乙出现正面｝ ,验证事件A,B是相互独立的.
Ω=｛（正、正）（正、反）（反、正）（反、反）｝
A=｛（正、正）（正、反）｝,
AB=｛（正、正）｝,
P(A)=P(B)=
, P(AB)=
= P(A)P(B).
所以A、B是相互独立的.
B=｛（反、正）（正、正）｝,
验证：
实质上，在实际问题中，人们常用直觉来判断事件间的”相互独立”性，事实上，分别掷两枚硬币，硬币甲出现正面与否和硬币乙出现正面与否，相互之间没有影响，因而它们是相互独立的，当然有时直觉并不可靠.

一个家庭中有男孩，又有女孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，令A=｛一个家庭中有男孩，又有女孩｝，B=｛一个家庭中最多有一个女孩｝.对下述两种情形，讨论A和B的独立性.
1）家庭中有两个小孩；2）家庭中有三个小孩.
解:
1）有两个小孩的家庭，这时样本空间为：
Ω=｛(男、男),(男、女),(女、男),(女、女)｝
A=｛(男、女),(女、男)｝
B=｛(男、男),(男、女),(女、男)｝
AB=｛（男、女），（女、男）｝
于是 P(A)=
, P(B)=
, P(AB)=
由此可知 P(AB)
P(A) P(B).
所以 A与B 不独立.
2）有三个小孩的家庭，样本空间Ω=｛（男、男、男），（男、男、女），（男、女、男），（女、男、男）（男、女、女），（女、女、男），（女、男、女），（女、女、女）｝
由等可能性可知，这8个基本事件的概率都是
这时A包含了6个基本事件，B包含了4个基本事件，
P(AB)=
, P(A)=
, P(B)=
.
AB包含了3个基本事件.
显然 P(AB)=P(A)P(B)，从而A与B相互独立.
2)多个事件的独立性
设三个事件A,B,C满足
P(AB)=P(A)P(B)
P(AC)=P(A)P(C)
P(BC)=P(B)P(C)
P(ABC)=P(A)P(B) P(C) 称A,B,C相互独立.
由三个事件的独立性可知，若A、B、C相互独立，则它们两两相互独立，反之不一定成立.
一个均匀的正四面体，其第一面染成红色，第二面染成白色，第三面染成黑色,第四面上同时染上红、黑、白三色，以A、B、C分别记投一次四面体，出现红、白、黑颜色的事件，
P(AB)=P(BC)=P(AC)=
,P(ABC)=
,
故A、B、
.也就是说由A、B、C两两
.不能推出A、B、C两两相互
则P(A)=P(B)=P(C)=
相互独立不能推出A、B、
.
对
个事件
若对于所有
有
=
；
=
;
……
=
则称
相互独立.
个事件相互独立，则必须满足
个等式.
显然
个事件相互独立，则它们中的任意
（2
）个事件也相互独立.
可能的组合1

四对事件{A、B}，{
}，{A，
、
}中有一对相互独立，则其它三对也相互独立.
}、
{
证明
与
独立，仅证
与
相互独立，其余情况类似证明
因为
又
与
独立，所以
从而
所以，
与
相互独立.
:
用数学归纳法可以证明