文档介绍：不定积分解题方法总结摘要: 在微分学中,已知函数求它的导数或微分是需要解决的基本问题。而在实际应用中, 很多情况需要使用微分法的逆运算——积分。不定积分是定积分、二重积分等的基础, 学好不定积分十分重要。然而在学****过程中发现不定积分不像微分那样直观和“有章可循”。本文论述了笔者在学****过程中对不定积分解题方法的归纳和总结。关键词: 不定积分;总结;解题方法不定积分看似形式多样, 变幻莫测, 但并不是毫无解题规律可言。本文所总结的是一般规律, 并非所有相似题型都适用, 具体情况仍需要具体分析。希望本文能起到抛砖引玉的作用,为读者在学****不定积分时提供思路。文中如有错误之处,望读者批评指正。 1 换元积分法换元积分法分为第一换元法(凑微分法) 、第二换元法两种基本方法。而在解题过程中我们更加关注的是如何换元,一种好的换元方法会让题目的解答变得简便。 1. 当出现 22xa?,22ax?形式时,一般使用 taxsin ??,taxsec ??, taxtan ??三种代换形式。 Cxaxxa dx Cttttaxxa dx????????????? 2222 22ln tan sec ln sec tan 2. 当根号内出现单项式或多项式时一般用 t 代去根号。 CxxxCttt tdt tt tdt txt dx x??????????????? sin 2 cos 2 sin 2 cos 2 ) cos cos (2 sin 2 sin 但当根号内出现高次幂时可能保留根号, cx dt t dt t t dt t tt dt tt tt xxx dx???????????????????????????????? 6 6 12 12 5 12 6 2 12 12 arcsin 6 1 1 16 1 11 1 11 1 111 3. 当被积函数只有形式简单的三角函数时考虑使用万能代换法。使用万能代换 2 tan xt?,?????? c x dt t dt tt dt ttt dx x?????????????????? 3 12 tan 2 arctan 3 2 2/14/3 11 1 1 2122 1 sin 2 1 2 2 22 对于万能代换法有些同学可能觉得形式和计算麻烦而排斥使用, 但是万能代换可以把三角函数直接转变为有理函数形式, 其后可以直接参照有理函数的积分法。这不失为解题的一种好方法。 2 不定积分中三角函数的处理不定积分的计算中三角函数出现的次数较多, 然而有些形式类似的题目的解法却大相径庭。在这里我们有必要对含有三角函数的不定积分的解法进行总结。除了之前提到的万能代换的方法, 我们可以对被积函数进行适当的变形和转换。因此, 我们对被积函数中的三角函数的变形和转换与三角函数的降次进行归纳和总结。 1. 分子分母上下同时加、减、乘、除某三角函数。被积函数?? dx xx 22cos sin 1 上下同乘 xsin 变形为?????????????xx xxd dx xxcos 1cos 1 cos cos cos sin 1 2 令xucos ?,则为???????????? c xx cx xx du uuu uu udu ????????????????????? 2 sec 4 12 tan ln 2 1 cos 1 cos 1ln 4 1cos 12 1 )14 114 112 1(11 22 2 2 2. 只有三角函数时尽量寻找三角函数之间的关系,注意 1cos sin 22??xx 的使用。???? c xxx x dx xx dx xx xx dx xx xx??????????????????????????????? 82 tan ln 22 1 cos sin 2 1 )4/ sin( 2 cos sin 2 1 cos sin 1 cos sin 2 1 cos sin cos sin 2??三角函数之间都存在着转换关系。被积函数的形式越简单可能题目会越难, 适当的使用三角函数之间的转换可以使解题的思路变得清晰。 3. 函数的降次①形如的 cos sin ? xdx x nm 积分( m,n 为非负整数) 当m 为奇数时,可令 xucos ?,于是???????????? du uux xd x dx xx n m nmnm2 12 11 cos cos sin cos sin , 转化为多项式的积分当n 为奇数时,可令 xusin ?,于是?????????? du uux xd x xdx x umnmnm2 12 11 sin cos sin cos sin , 同样转化为多项式的积分。当m,n 均为偶数时,可反复利用下列三角公式: ,2 2cos 1cos ,2 2cos 1sin ,2