文档介绍：第 4 讲单自由度系统的自由振动目录 无阻尼系统的自由振动 计算固有频率的能量法 瑞利法 有阻尼系统的衰减振动关于单自由度系统振动的概念典型的单自由度系统:弹簧-质量系统梁上固定一台电动机,当电机沿铅直方向振动时,可视为集中质量。如不计梁的质量,则相当于一根无重弹簧,系统简化成弹簧-质量系统 无阻尼系统的自由振动 自由振动方程 振幅、初相位和频率 等效刚度系数 扭转振动 无阻尼系统的自由振动 自由振动方程)(d d st 2 2xk mg t xm????当物块偏离平衡位置为 x距离时,物块的运动微分方程为 0d d 22 2??xpt x n其中 m kp n?取物块的静平衡位置为坐标原点 O,x轴顺弹簧变形方向铅直向下为正。当物块在静平衡位置时,由平衡条件,得到 st?k mg ?无阻尼自由振动微分方程弹簧的静变形固有圆频率 无阻尼系统的自由振动其通解为: tpCtpCx n n sin cos 2 1??01xC?tpp vtpxx nn n sin cos 0 0?? np vC 02?其中 C 1和C 2为积分常数,由物块运动的起始条件确定。设 t =0 时, 可解 00vvxx??, 自由振动方程 无阻尼系统的自由振动) sin( ???tpAx n??????????)( arctg )( 0 0 20 20v xp p vxA n n?两种形式描述的物块振动,称为无阻尼自由振动, 简称自由振动。另一种形式无阻尼的自由振动是以其静平衡位置为振动中心的简谐振动初相位角振幅 自由振动方程 无阻尼系统的自由振动 振幅、初相位和频率系统振动的周期 k mp T nπ2 π2??系统振动的频率 m k pT f nπ2π2 1???系统振动的圆频率为 fp nπ2?圆频率 pn 是物块在自由振动中每 2?秒内振动的次数。 f、 pn 只与振动系统的弹簧常量 k和物块的质量 m 有关,而与运动的初始条件无关。因此,通常将频率 f 称为固有频率,圆频率 pn 称为固有圆频率。 无阻尼系统的自由振动用弹簧静变形量 dst 表示固有圆频率的计算公式物块静平衡位置时 st?k mg ?m kp n?固有圆频率 st? gp n? st? mg k? 振幅、初相位和频率 无阻尼系统的自由振动 等效刚度系数单自由度线性系统无阻尼自由振动微分方程 0d d eq 2 2 eq= qkt qm?这一方程,可以等效为广义坐标的形式 0d d 2 2= kx t xm?加的力或力矩。需要在这一坐标方向施位移, 广义坐标方向产生单位-等效刚度:使系统在 eqk 向施加的力或力矩。度,需要在这一坐标方加速广义坐标方向产生单位-等效质量:使系统在 eqm 无阻尼系统的自由振动