文档介绍：§ 向量的内积、长度及正交性
一、向量内积的定义及性质
在解析几何中有两向量的数量积的概念, 即设x, y为两向量, 则它们的数量积为:
x · y = | x || y | cos .
设向量x, y 的坐标表示式为 x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3), 则
x · y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 .
由此引出了向量的(即模)和两向量的概念:
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定义1: 设有n维向量
[x, y] = x1 y1 + x2 y2 + ··· + xn yn,
称[x, y]为向量 x 与 y 的内积.
说明1. n(n4)维向量的内积是3维向量数量积的推广. 但n维向量没有3维向量直观的几何意义.
说明2. 内积是向量的一种运算, 如果都是列向量, 内积可用矩阵记号表示为: [x, y] = xT y.
我们把两向量的数量积的概念向 n 维向量推广:
记
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内积的运算性质
设x, y, z为n维向量, 为实数, 则
(1) [x, y] = [y, x];
(2) [ x, y] = [x, y];
(3) [x+y , z] = [x, z] + [y, z];
(4) [x, x] 0, 当且仅当x=0时有[x, x]=0.
二、向量的长度及性质
称|| x ||为n维向量 x 的长度(或范数).
定义: 令
向量的长度具有下述性质:
(1) 非负性: || x || 0, 当且仅当x=0时有|| x || = 0;
(2) 齐次性: || x|| = | | || x ||;
(3) 三角不等式: || x+y || || x || + || y ||.
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单位向量及n 维向量间的夹角
(1)当|| x ||=1时, 称x为单位向量.
(2)当|| x || 0, || y || 0 时,
称为n维向量 x 与 y 的夹角, 规定0 .
例1: 求向量x = (1, 2, 2, 3)与y = (3, 1, 5, 1)的夹角.
解: [x, y]=13+21+25+31=18,
所以
故, 向量x与 y 的夹角为:
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三、正交向量组的概念及求法
1. 正交的概念
2. 正交向量组的概念
若一非零向量组中的向量两两正交, 则称该向量组为正交向量组.
当[x, y]=0时, 称向量 x 与 y 正交.
由定义知, 若x=0, 则 x与任何向量都正交.
3. 正交向量组的性质
定理1: 若向量组1, 2, ···, r 是n维正交向量组, 则1, 2, ···, r 线性无关.
证明: 设有数1, 2, ··· ,r, 使得:
11 + 22 + ··· + rr = 0
向量的正交是几何空间中向量垂直概念的推广.
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由于1, 2, ···, r 是两两正交的非零向量组,
当 i j 时, [i, j]=iTj = 0, 当 i = j 时, [i, i]=iTi 0,
则有
用iT ( i =1, 2, ···, r )左乘上式得,
1iT1 + ··· + iiTi + ··· + riTr = iT0 = 0,
iiTi = 0.
即
从而得, 1=2= ··· =r=0,
所以1, 2, ··· ,r 线性无关.
4. 向量空间的正交基
定义: 若正交向量组1, 2, ··· , r是向量空间V的一组基, 则称1, 2, ···, r 是向量空间V的一组正交基.
例2: 已知三维向量空间中两个向量
正交. 试求3使1, 2, 3构成三维空间的一组正交基.
1=(1, 1, 1)T, 2=(1, –2, 1)T
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即
解之得
解: 设3=(x1, x2, x3)T0, 且分别与1, 2正交.
则有
[1, 3]=[2, 3]=0,
x1 = –x3, x2 = 0.
若令 x3 = 1, 则有
构成三维空间的一组正交基.
则
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5. 规范正交基
例如
定义: 设n维向量组e1, e2, ···, er是向量空间VRn的一组正交基, 且都是单位向量, 则称e1, e2, ···, er是向量空间V的一组规范(单位)正交基.
由于