文档介绍：泛函分析题 1_3 列紧集 20070501 1 泛函分析题 1_3 列紧集 p19 在完备的度量空间中,求证:为了子集 A是列紧的,其充分必要条件是对??>0,存在 A的列紧的?网. 证明: (1) 若子集 A是列紧的,由 Hausdorff 定理, ??>0,存在 A的有限?网 N. 而有限集是列紧的,故存在 A的列紧的?网 N. (2) 若??>0,存在 A的列紧的?/2网 B. 因 B列紧,由 Hausdorff 定理,存在 B的有限?/2网 C. 因 C?B?A,故 C为 A的有限?网. 因空间是完备的,再用 Hausdorff 定理,知 A是列紧的. 在度量空间中,求证:紧集上的连续函数必是有界的,并且能达到它的上、下确界. 证明:设(X, ?)是度量空间, D是紧子集, f:D ??是连续函数. (1) 若f无上界,则?n ??+,存在 x n?D,使得 f(x n)>1/n. 因 D是紧集,故 D是自列紧的. 所以{x n}存在收敛子列 x n(k)?x 0?D(k??). 由 f的连续性, f(x n(k))?f(x 0)(k??). 但由 f(x n)>1/n知 f(x n)?+?(n??), 所以 f(x n(k))?+?(k??),矛盾. 故 ,故 f有下界. (2) 设M= sup x?Df(x),则?n ??+,存在 y n?D,使得 f(y n)>M ?1/n. {y n}存在子列 y n(k)?y 0?D(k??). 因此 f(y 0)?M. 而根据 M的定义,又有 f(y 0)?M. 所以 f(y 0)= f能达到它的上确界. 同理, f能达到它的下确界. 在度量空间中,求证: 完全有界的集合是有界的,并通过考虑 l 2的子集 E= {e k} k?1,其中 e k={0,0,...,1,0,...}(只是第 k 个坐标为 1 ,其余都是 0),来说明一个集合可以是有界的但不完全有界的. 证明: (1) 若 A是度量空间(X,?)中的完全有界集. 则存在 A的有限 1-网 N={x 0,x 1,x 2,...,x n}. 令 R=? 1?j?n?(x 0,x j)+1. 则?x?A,存在某个 j使得 0?j?n,且?(x,x j)<1. 因此, ?(x,x 0)??(x,x j)+?(x j,x 0)?1+? 1?j?n?(x 0,x j)=R. 所以 A是度量空间(X,?)中的有界集. (2) 注意到?(e k,e j)=2 1/2(?k?j), 故 E中任意点列都不是 Cauchy 列. 所以, E中任意点列都没有收敛子列(否则,该收敛子列就是 Cauchy 列,矛盾). 泛函分析题 1_3 列紧集 20070501 2 因此, E不是列紧集. 由 l 2是完备的,以及 Hausdorff 定理,知 E不是全有界集. 但 E显然是有界集. 设(X,?) 是度量空间, F 1,F 2 是它的两个紧子集,求证: ?x i?F i(i=1,2), 使得?(F 1,F 2)=?(x 1,x 2).其中?(F 1,F 2)= inf {?(x,y)|x?F 1,y?F 2} 证明:由?(F 1,F 2)的定义, ?n ??+, ?x i (n)?F i(i=1,2),使得?(x 1 (n),x 2 (n))<?(F 1,F 2)+1/n. 因 F 1,F 2紧,故不妨假设{x 1 (n) },{x 2 (n)}都是收敛列. 设它们的极限分别为 x 1,x 2,则?(x 1,x 2)??(F 1,F 2). 因此?(F 1,F 2)=?(x 1,x 2). 设 M是 C[a,b]中的有界集,求证集合{F(x)=?[a,x]f(t)dt|f?M}是列紧集. 证明:设 A={F(x)=?[a,x]f(t)dt|f?M}. 由 M有界,故存在 K>0,使得?f?M, ?(f,0)?K. 先证明 A是一致有界的和等度连续的. ?F?A,存在 f?M,使得 F(x)=?[a,x]f(t)dt. 由于?(F,0)= max x?[a,b]|F(x)|= max x?[a,b]|?[a,x]f(t)dt| ? max x?[a,b]|f(t)|·(b?a)=?(f,0)·(b?a)?K(b?a). 故 A是一致有界的. ??>0, ?s,t?[a,b],当|s?t|<?/K时, ?F?A,存在 f?M,使得 F(x)=?[a,x]f(u)du. |F(s) ?F(t)|=| ?[s,t]f(u)du| ? max u?[a,b]|f(u)|·|s ?t| =?(f,0)·|s?t|?K·(?/K)=?. 故 A是等度连续的. 由 Ar